Ungerade Wurzeln und erweiterte Potenzen

15.09.2022, 10:35	BKTeam	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungerade Wurzeln und erweiterte Potenzen Meine Frage: Wir stehen vor folgendem Problem: Gerade Wurzeln sind auf den nicht-negativen reellen Zahlen in die nicht-negativen reellen Zahlen definiert. Ungerade Wurzeln könnten (oder sind?) theoretisch auf ganz R definiert, da z.B. die 3. Wurzel aus -8 -2 ist. Nun ergibt sich daraus aber folgendes Problem: $\begin{eqnarray} (-8)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-8}=-2 \end{eqnarray}$ . Bei Erweiterung des Exponenten ergibt sich aber: $\begin{eqnarray} (-8)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{64}=2 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Eine Lösung des Problems wäre, auch ungerade Wurzeln nur auf nicht-negativen reellen Zahlen zu definieren, dann wäre $\begin{eqnarray} sqrt[3]{-8} \end{eqnarray}$ aber gar nicht definiert, was mir komisch vorkäme. Eine andere Lösung ist bei dieser Art von Exponenten zu fordern, dass sie bestmöglich gekürzt sein müssen. Aber auch das scheint mir unbefriedigend zu sein, da $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}=\frac{2}{6} \end{eqnarray}$ . Vorschläge?
15.09.2022, 11:13	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungerade Wurzeln und erweiterte Potenzen Das Thema hatten wir öfters schon mal, zum Beispiel hier oder da. Viele Grüße Steffen
15.09.2022, 11:29	BKTeam	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungerade Wurzeln und erweiterte Potenzen Vielen Dank!
15.09.2022, 14:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch interessanter wird es, wenn man das ganze eingebettet in die komplexen Zahlen betrachtet, und das Symbol $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{} \end{eqnarray}$ für den Hauptwert der dritten Wurzel reserviert. Dann ist nämlich $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{-8} = 1+i\sqrt{3} \end{eqnarray}$ statt -2. Außerdem sollte man sich dessen gewahr sein, dass im Falle nichtganzzahliger Exponenten und zugleich nicht positiv reeller Basen (d.h. negativ reell oder gar komplex) die Potenz- und Wurzelregeln i.a. nicht mehr gelten.

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