Verteilungsfunktion

15.09.2022, 19:59	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilungsfunktion Liebes Matheboard, die Frage: Seien $\begin{eqnarray} X_1,\cdots, X_n \end{eqnarray}$ stochastisch unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen au einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega ,\mathfrak{A},P) \end{eqnarray}$ F Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} r \in \mathbb{N} , 1 \leq r\leq n-1 \end{eqnarray}$ Es gilt die Verteilungsfunktion folgender Zufallsvariablen zu ermitteln: $\begin{eqnarray} Z_r=min\{ max\{X_1,\cdots ,X_r\}, max\{X_{r+1},\cdots, X_n\}\} \end{eqnarray}$ meine Idee: einfach mal einsetzen: $\begin{eqnarray} F^{Z_r}=P(Z_r\leq z)=P(min\{max\{X_1,\cdots, X_r\},max\{X_{r+1},\cdots,X_n\}\}\leq z) \end{eqnarray}$ jetzt die Gegenwsk $\begin{eqnarray} P(min\{max\{X_1,\cdots, X_r\},max\{X_{r+1},\cdots,X_n\}\}\leq z)=1-P(min\{max\{X_1,\cdots, X_r\},max\{X_{r+1},\cdots,X_n\}\}> z)=1-P(\{max\{X_1,\cdots, X_r\}>z,max\{X_{r+1},\cdots,X_n\}\}> z) \end{eqnarray}$ und dann weiß ich nicht mehr so genau... ich würde es jetzt vielleicht nochmal mit einer Gegenwsk versuchen und versuchen den Term aufgrund der stochastischen unabhängigkeit auseinanderzu ziehen.. Gruß, eure HiBee
15.09.2022, 22:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten führt man zunächst ein paar Abkürzungen an, sonst schreibt man sich dumm und dämlich: Seien $\begin{eqnarray} U=\max\{X_1,\ldots,X_r\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V=\max\{X_{r+1},\ldots,X_n\} \end{eqnarray}$ , dann sind $\begin{eqnarray} U,V \end{eqnarray}$ unabhängig, da sie aus disjunkten Teilmengen der Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray}$ konstruiert sind. Es ist $\begin{eqnarray} F_Z(t) = P\left( \min\{U,V\}\leq t\right) = 1- P\left( \min\{U,V\}> t\right) \stackrel{!}{=} 1- P\left( U> t, V> t\right) \stackrel{(U)}{=} 1- P\left( U> t\right)\cdot P\left( V> t\right) = 1-\left(1-F_U(t)\right)\cdot \left(1-F_V(t)\right) = F_U(t) + F_V(t) - F_U(t)\cdot F_V(t)\qquad (1) \end{eqnarray}$ . Daher benötigen wir die Verteilungsfunktionen $\begin{eqnarray} F_U,F_V \end{eqnarray}$ , und die bekommen wir so: $\begin{eqnarray} F_U(t) = P\left( U\leq t\right) = P\left( \max\{X_1,\ldots,X_r\}\leq t\right) \stackrel{!}{=} P\left(X_1\leq t,X_2\leq t,\ldots,X_r\leq t\right) \stackrel{(U)}{=} \ldots \end{eqnarray}$ . Klar, wie es weiter geht?
16.09.2022, 11:45	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich glaube schon. Wegen der stochastischen Unabhängigkeit zieht man dieses letzte Wahrscheinlichkeit auseinander. und kommt auf $\begin{eqnarray} P(X_1\leq t)\cdot P(X_2\leq t)\cdots P(X_n\leq t) \end{eqnarray}$ und wegen der identischen Verteilung ist das dann F^n, oder?
16.09.2022, 12:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau durchzählen: Der Exponent ist $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . D.h., es ist $\begin{eqnarray} F_U(t) = (F(t))^r \end{eqnarray}$ und analog $\begin{eqnarray} F_V(t)=(F(t))^{n-r} \end{eqnarray}$ .
16.09.2022, 12:48	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja. Also dann insgesamt: $\begin{eqnarray} F^r + F^{n-r}-F^n \end{eqnarray}$ ...?
16.09.2022, 12:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Man kann es auch in der ursprünglichen Form $\begin{eqnarray} F_Z(t) = 1-\left(1-(F(t))^r\right)\left(1-(F(t))^{n-r}\right) \end{eqnarray}$ belassen, an dieser Darstellung kann man besser die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion ablesen wie etwas Monotonie und Wertebereich [0,1].
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16.09.2022, 12:59	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Dankeschön

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