Bernoulli-Ungleichung

16.09.2022, 09:04	Maja1	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoulli-Ungleichung Meine Frage: Den Beweis für die Bernoulli Ungleichung per vollständiger Induktion für x>-1 kann ich absolut nachvollziehen. Wie zeigt man aber, dass sie nicht für x<-1 gilt? Meine Ideen: ?
16.09.2022, 09:42	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Präzisieren deine Aussage. Willst Du beweisen, dass es zu jedem x<-1 mindestens ein n gibt, so dass die Ungleichung nicht erfüllt ist? Oder soll sie für alle Paare (x,n) mit x<-1 falsch sein? Kurz: Was verstehst Du unter "dass Sie nicht gilt"? Mach Dir erst einmal Gedanken um die Negation des Satzes. Vielleicht kannst Du Dir dann die Frage selber beantworten.
16.09.2022, 10:18	Maja1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein n finden sodass die Ungleichung nicht gilt.
16.09.2022, 10:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann man gar nicht beweisen, weil es durchaus viele Konstellationen gibt, wo sie auch für $\begin{eqnarray} x<-1 \end{eqnarray}$ gilt. Bestes Beispiel ist Exponent 2, wo die Bernoullische Ungleichung $\begin{eqnarray} (1+x)^2 \geq 1+2x \end{eqnarray}$ für ALLE reellen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gilt!!!
16.09.2022, 10:30	Maja1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich auch bemerkt. Kann man aber zu jedem x<-1 ein n finden sodass die Ungleichung nicht gilt?
16.09.2022, 10:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ gilt die Bernoullische Ungleichung sowieso immer (und zwar mit Gleichheit). Für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} -2\leq x < -1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} 0<\|1+x\|^n\leq 1 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} (1+x)^n\geq -1> 1+2x\geq 1+nx \end{eqnarray}$ . D.h., genau genommen kann man den Gültigkeitsbereich der Bernoullischen Ungleichung sofort auf $\begin{eqnarray} x\geq -2 \end{eqnarray}$ statt nur $\begin{eqnarray} x\geq -1 \end{eqnarray}$ ausdehnen. Für $\begin{eqnarray} x<-2 \end{eqnarray}$ hast du indes Recht: Wählt man $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ groß genug und ungerade, dann schafft man wegen $\begin{eqnarray} 1+x<-1 \end{eqnarray}$ irgendwann $\begin{eqnarray} (1+x)^n < 1+nx \end{eqnarray}$ , weil der linke Potenzterm für wachsende ungerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ schneller gegen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ fällt als der rechte. Man kann auch ganz konkrete $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ angeben, wenn man das will: Für $\begin{eqnarray} x<-2 \end{eqnarray}$ suchen wir ungerade $\begin{eqnarray} n\geq 3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (1+x)^n < 1+nx \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} y=\|x\|-2 = -x-2 \end{eqnarray}$ positiv, unser Ziel lautet dann $\begin{eqnarray} (1+y)^n > n(y+2)-1 \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} (1+y)^n > ny + \frac{n(n-1)}{2}y^2 \end{eqnarray}$ (wir nehmen nur die Glieder 1 und 2 des Binomischen Satzes) wäre dafür $\begin{eqnarray} ny + \frac{n(n-1)}{2}y^2 \geq n(y+2) \end{eqnarray}$ hinreichend, was sich leicht nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ umformen lässt: $\begin{eqnarray} n\geq 1+\frac{4}{y^2}= 1+\frac{4}{(x+2)^2} \end{eqnarray}$ . EDIT: Es gibt einen gewichtigen Grund, warum man diese Ausdehnung des Gültigkeitsbereich meist nicht vornimmt: $\begin{eqnarray} (1+x)^{\alpha} \geq 1+\alpha x \end{eqnarray}$ gilt bei $\begin{eqnarray} x\geq -1 \end{eqnarray}$ nicht nur für $\begin{eqnarray} \alpha\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ , sondern sogar für alle reellen Exponenten $\begin{eqnarray} \alpha\geq 1 \end{eqnarray}$ . Bei nichtganzzahligen $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} x<-1 \end{eqnarray}$ wäre der Ausdruck $\begin{eqnarray} (1+x)^{\alpha} \end{eqnarray}$ aber nicht mal als reelle Zahl definiert...
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