Bernoulli-Ungleichung |
16.09.2022, 09:04 | Maja1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bernoulli-Ungleichung Den Beweis für die Bernoulli Ungleichung per vollständiger Induktion für x>-1 kann ich absolut nachvollziehen. Wie zeigt man aber, dass sie nicht für x<-1 gilt? Meine Ideen: ? |
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16.09.2022, 09:42 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Präzisieren deine Aussage. Willst Du beweisen, dass es zu jedem x<-1 mindestens ein n gibt, so dass die Ungleichung nicht erfüllt ist? Oder soll sie für alle Paare (x,n) mit x<-1 falsch sein? Kurz: Was verstehst Du unter "dass Sie nicht gilt"? Mach Dir erst einmal Gedanken um die Negation des Satzes. Vielleicht kannst Du Dir dann die Frage selber beantworten. |
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16.09.2022, 10:18 | Maja1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ein n finden sodass die Ungleichung nicht gilt. |
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16.09.2022, 10:18 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das kann man gar nicht beweisen, weil es durchaus viele Konstellationen gibt, wo sie auch für gilt. Bestes Beispiel ist Exponent 2, wo die Bernoullische Ungleichung für ALLE reellen gilt!!! |
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16.09.2022, 10:30 | Maja1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das habe ich auch bemerkt. Kann man aber zu jedem x<-1 ein n finden sodass die Ungleichung nicht gilt? |
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16.09.2022, 10:35 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für gilt die Bernoullische Ungleichung sowieso immer (und zwar mit Gleichheit). Für sowie gilt und damit . D.h., genau genommen kann man den Gültigkeitsbereich der Bernoullischen Ungleichung sofort auf statt nur ausdehnen. Für hast du indes Recht: Wählt man groß genug und ungerade, dann schafft man wegen irgendwann , weil der linke Potenzterm für wachsende ungerade schneller gegen fällt als der rechte. Man kann auch ganz konkrete angeben, wenn man das will: Für suchen wir ungerade mit . Dann ist positiv, unser Ziel lautet dann . Wegen (wir nehmen nur die Glieder 1 und 2 des Binomischen Satzes) wäre dafür hinreichend, was sich leicht nach umformen lässt: . EDIT: Es gibt einen gewichtigen Grund, warum man diese Ausdehnung des Gültigkeitsbereich meist nicht vornimmt: gilt bei nicht nur für , sondern sogar für alle reellen Exponenten . Bei nichtganzzahligen sowie wäre der Ausdruck aber nicht mal als reelle Zahl definiert... |
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