Exakte Differentialgleichungen: integrierender Faktor M

17.09.2022, 01:21

Melan

Exakte Differentialgleichungen: integrierender Faktor M

Meine Frage:
Gesucht ist der integrierenden Faktor M, damit die DGL exakt wird.

$\begin{eqnarray*} xy(x)+y^{2}(x)+(x^{2}+3xy(x))y'(x)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} a(x,y)= xy(x)+y^{2}(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b(x,y)= x^{2}+3xy(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde{a}(x,y) = M(x,y)*(xy+y^{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tilde{a}_{y}(x,y) = M_{y}(x,y)*(xy+y^{2})+M(x,y)*(x+2y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde{b}(x,y) = M(x,y)*( x^{2}+3xy(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tilde{b}_{x}(x,y) = M_{x}(x,y)*( x^{2}+3xy(x)) + M(x,y)*( 2x+3y(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_{y}(x,y)*(xy+y^{2})+M(x,y)*(x+2y) = M(x,y)*( 2x+3y(x)) \end{eqnarray*}$

Auflösen nach M'(x,y):

$\begin{eqnarray*} M'(x,y)= \frac{M(x,y)*(2x+3y)-M(x,y)*(x+2y)}{xy+y^{2}} = \frac{M(x,y)}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dM}{dy}=\frac{M(x,y)}{y} \end{eqnarray*}$

Integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{M(x,y)} \, dM = \int \! \frac{1}{y} \, dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(M)+C_{1} = ln(y)+C_{2} |-C_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(M) = ln(y)+\underbrace{C_{2}-C_{1}}_{C_{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(M) = ln(y)+C_{3} |e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M = y+C \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mit C = e^{C_{3}} \end{eqnarray*}$

Ich bekomme für M = y+C raus, aber in der Lösung steht, dass M = y*C ist.
Ich finde den Fehler nicht.

17.09.2022, 06:25

Mulder

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RE: Exakte Differentialgleichungen: integrierender Faktor M
Ohne mir jetzt die ganze Rechnung angesehen zu haben, aber ... was geschieht denn hier?

Zitat:

Original von Melan
$\begin{eqnarray*} ln(M) = ln(y)+C_{3} |e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M = y+C \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mit C = e^{C_{3}} \end{eqnarray*}$

Wird da rechts summandenweise exponenziert??? Sollte es nicht eher

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{\ln(M)} = \operatorname{e}^{\ln(M)+C_3} = \, \, ... ? \end{eqnarray*}$

lauten?

17.09.2022, 08:23

Ulrich Ruhnau

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RE: Exakte Differentialgleichungen: integrierender Faktor M

Zitat:

verbessertes Original von Melan
Gesucht ist der integrierenden Faktor M, damit die DGL exakt wird.
$\begin{eqnarray*} xy+y^{2}+\left(x^{2}+3xy\right)y'=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde{a} = M\left(xy+y^{2}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tilde{a}_{y} = M_{y}\left(xy+y^{2}\right)+M\left(x+2y\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde{b} = M\left( x^{2}+3xy\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tilde{b}_{x} = M_{x}\left( x^{2}+3xy\right) + M( 2x+3y) \end{eqnarray*}$

Funktionsklammern stören hier und machen die Rechnung unübersichtlich. Deshalb habe ich die Klammern weggelassen. In Deiner folgenden Rechnung willst Du wahrscheinlich

$\begin{eqnarray*} \tilde{a}_{y} = \tilde{b}_{x} \end{eqnarray*}$

setzen. Dabei solltest Du den Term mit $\begin{eqnarray*} M_x \end{eqnarray*}$ nicht weglassen.
Ob man das in dieser Ausführlichkeit so rechnen kann, weiß ich nicht. Ich dachte, man findet den integrierenden Faktor durch Probieren. Probiere doch mal $\begin{eqnarray*} M=y \end{eqnarray*}$ !

17.09.2022, 09:14

Melan

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RE: Exakte Differentialgleichungen: integrierender Faktor M

Zitat:

Original von Mulder
Ohne mir jetzt die ganze Rechnung angesehen zu haben, aber ... was geschieht denn hier?

Zitat:

Original von Melan
$\begin{eqnarray*} ln(M) = ln(y)+C_{3} |e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M = y+C \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mit C = e^{C_{3}} \end{eqnarray*}$

Wird da rechts summandenweise exponenziert??? Sollte es nicht eher

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{\ln(M)} = \operatorname{e}^{\ln(M)+C_3} = \, \, ... ? \end{eqnarray*}$

lauten?

Stimmt, daran lag es Ups

Danke

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