Integrationsreihenfolge vertauschen

17.09.2022, 09:43	asdda	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsreihenfolge vertauschen Was muss man zeigen, um $\begin{eqnarray} \lim_{\delta\to 0, T\to \infty}\int_{a}^{b}\Bigg(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(t(x-y))}{\pi t}dy\Bigg)dt \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\Bigg(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(t(x-y))}{\pi t}dt\Bigg)dy \end{eqnarray}$ rechtfertigen zu können? (Also Integrale vertauschen und limes in die Integrationsgrenzen ziehen) 1. Wenn ich zeige, dass $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}\Bigg(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(t(x-y))}{\pi t}dy\Bigg)dt<\infty \end{eqnarray}$ , kann ich mit Fubini die Integrationsreihenfolge vertauschen, oder?
17.09.2022, 10:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Welchen Sinn macht ein Grenzübergang $\begin{eqnarray} \lim_{\delta\to 0, T\to \infty} \end{eqnarray}$ , wenn weder $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ im Term aufttauchen?
17.09.2022, 10:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL Vermutlich eine "Ausbesserung", die nicht vollständig durchgezogen wurde. @asdda la vista Das innere Integral auf der rechten Seite deiner Gleichung kann berechnet werden: $\begin{align} \int \limits_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin \left( t(x-y) \right)}{\pi t} ~ \dd t \ = \ \begin{cases} -1, & x<y \\ 0, & x=y \\ 1, & x>y \end{cases} \end{align}$ Man braucht dazu die Kenntnis von $\begin{align} \int \limits_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin(u)}{u} ~ \dd u = \pi \end{align}$ . Eine einfache Substitution führt dann hierhin. Und über diese Funktion noch einmal von $\begin{align} - \infty \end{align}$ bis $\begin{align} \infty \end{align}$ zu integrieren, mit $\begin{align} x \end{align}$ als Parameter und $\begin{align} y \end{align}$ als Variable - da sehe ich schwarz.
17.09.2022, 11:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Und auch $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(t(x-y))}{\pi t} ~ \dd y \end{eqnarray}$ auf der anderen Gleichungsseite existiert für kein $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ : Denn es ist $\begin{eqnarray} \int\limits_a^b \frac{\sin(t(x-y))}{\pi t} ~ \dd y = \left[ \frac{\cos(t(x-y))}{\pi t^2} \right]_{y=a}^b = \frac{\cos(t(x-b))-\cos(t(x-a))}{\pi t^2} \end{eqnarray}$ und für diesen Term gibt es weder den Grenzwert $\begin{eqnarray} a\to -\infty \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} b\to\infty \end{eqnarray}$ .
17.09.2022, 11:44	asdda	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, da ging einiges schief. Vergesst es und beachtet nur das hier [attach]55953[/attach] F ist eine Verteilungsfunktion. Das ändert natürlich einiges Ich würde so vorgehen: Für das erste Gleichheitszeichen: Zeigen, dass [attach]55954[/attach] endlich ist und danach kann man die Integrationsreihenfolge mit dem Satz von Fubini vertauschen. Kann man hier den Integranden des dt-Integrals nach oben mit $\begin{eqnarray} 1/(\pi \epsilon) \end{eqnarray}$ abschätzen? Oder nur mit $\begin{eqnarray} 1/(\pi t) \end{eqnarray}$ ?
17.09.2022, 11:46	asdda	Auf diesen Beitrag antworten »
das unterste Bild ignorieren
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17.09.2022, 12:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ändert die Situation völlig. Das zu Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ gehörende Maß $\begin{eqnarray} \mu_F \end{eqnarray}$ ist endlich (da es ein W-Maß ist), und für feste $\begin{eqnarray} \epsilon,\lambda \end{eqnarray}$ ist auch das auf das Intervall $\begin{eqnarray} [\epsilon,\lambda] \end{eqnarray}$ eingeschränkte Lebesgue-Maß endlich. Da zudem der Integrand betragsmäßig beschränkt ist durch $\begin{eqnarray} \frac{1}{\pi \epsilon} \end{eqnarray}$ , kann Fubini angewandt werden.
17.09.2022, 13:00	asdda	Auf diesen Beitrag antworten »
Und für das zweite Gleichheitszeichen, muss man zeigen, dass [attach]55956[/attach] nach oben durch eine integrierbare Funktion abgeschätzt werden kann. Dann kann man den Satz von der dominierten Konvergenz anwenden. Oder? Und hier kann abschätzen, indem man die Betragsstriche in das Integral hineinzieht und dann wieder die Abschätzung $\begin{eqnarray} \frac{1}{\pi \epsilon} \end{eqnarray}$ verwendet, richtig?

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