EW Riemanndichte

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17.09.2022, 12:09	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
EW Riemanndichte Hallihallo es gilt den Erwartungswert einer Riemanndichte zu bestimmen. Auf einem WSK-Raum wird also folgende dichtefunktion festgelegt: $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases}a\cdot \frac{6^a}{x^{a+1}}&\text{x>6}\\0&\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ jetz soll der Erwartungswert für a>1 und a=1 bestimmt werden. Meine Idee: Also wir haben da so eine Formel, dass bei stetigen Zufallsvariablen gilt $\begin{eqnarray} EX=\int_{0}^{\infty} \!x\cdot f(x) \, dx \end{eqnarray}$ jetzt hab ich versucht da einzusetzten: $\begin{eqnarray} EX=\int_{0}^{\infty} \!x\cdot f(x) \, dx =<br /> \int_{0}^{6} \!x\cdot f(x) \, dx+\int_{6}^{\infty} \!x\cdot f(x) \, dx<br /> =\int_{6}^{\infty} \!x\cdot a \cdot \frac{6^a}{x^{a+1}}\, dx<br /> =\int_{6}^{\infty} \! a \cdot \frac{6^a}{x^{a}}\, dx<br /> =a\cdot\int_{6}^{\infty} \!(\frac{6}{x})^a\, dx \end{eqnarray}$ und hier komm ich dann einfach nicht weiter... ich fürchte der Ansatz harkt irgendwo... nur wo? Gruß, eure HiBee
17.09.2022, 12:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: EW Riemanndichte Eigentlich ist alles richtig bis zum Ende deiner Gleichungskette - die Frage ist, warum du da aufhörst: Es kann doch nicht ein Problem sein, eine Potenzfunktion zu integrieren? $\begin{eqnarray} E(X) = a\cdot 6^a\cdot \int\limits_6^{\infty} x^{-a} ~ \dd x \end{eqnarray}$
17.09.2022, 13:02	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: EW Riemanndichte Ja ich dachte schon wieder irgendwas komisches... also wenn a>0 ist komm ich auf a/(a+1)6 als Erwartungswert... und wenn a=1 ist komm ich auf unendlich... was ich ein wenig merkwürdig finde... vielleicht findest du ja den Fehler? $\begin{eqnarray} a\cdot 6^a \cdot \int_{6}^{\infty} \! x^{-a} \, dx = 1\cdot 6^1 \cdot \int_{6}^{\infty} \! x^{-1} \, dx= 6\cdot\int_{6}^{\infty} \! \frac{1}{x} \, dx = 6\cdot (ln(\infty)-ln(6))= \infty \end{eqnarray*}$
17.09.2022, 13:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, stimmt schon. Es gibt eben Zufallsgrößen, wo der Erwartungswert nicht existiert. Bei diesem $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ existieren auch nur die Momente $\begin{eqnarray} E\left(X^k\right) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k<a \end{eqnarray}$ , die für $\begin{eqnarray} k\geq a \end{eqnarray}$ jedoch nicht. Das bedeutet u.a., dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 1<a\leq 2 \end{eqnarray}$ zwar einen Erwartungswert, aber keine Varianz besitzt.
17.09.2022, 13:47	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
...was mich zur nächsten Teilaufgabe bringt, nämlich E(X^2) zu berechnen, für a>2 $\begin{eqnarray} E(X^2)=Eg(X)=\int_{0}^{\infty} \!g(x)\cdot f(x) \, dx <br /> =\int_{6}^{\infty} \!x^2\cdot f(x) \, dx =a\cdot 6\cdot\int_{6}^{\infty} \!x^2\cdot x^{-a} \, dx \end{eqnarray}$ und hier fangen meine Probleme an. wenn ich die Rechte Seite integriere komm ich erstmal auf eine Stammfunktion: $\begin{eqnarray} \frac{1}{-a+3}\cdot x^{-a+3} \end{eqnarray}$ aber wenn mein a <= 3 ist, divergiert mir das Ding gegen unendlich... was also kann ich tun?
17.09.2022, 14:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend musst du mal deine Gedanken ordnen: Das Integral lautet in Wahrheit $\begin{eqnarray} E\left(X^2\right) = 6^aa\cdot \int\limits_6^{\infty} x^2\cdot x^{-a-1} ~ \dd x \end{eqnarray}$ .
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17.09.2022, 14:15	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast natürlich recht, bin schon wieder durcheinander gekommen... Also komme ich schließlich auf $\begin{eqnarray} a\cdot 6^a \cdot \frac{1}{-a+2}\cdot 6 ^{-a+2}=\frac{a}{-a+2}36 \end{eqnarray}$ ,... ?
17.09.2022, 14:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist immer noch ein Vorzeichenfehler (vermutlich hast du nicht berücksichtigt, dass 6 ja untere statt obere Integralgrenze ist): Es kommt raus $\begin{eqnarray} E\left(X^2\right) = \frac{36a}{a-2} \end{eqnarray}$ , allgemein $\begin{eqnarray} E\left(X^k\right) = \frac{6^ka}{a-k} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k<a \end{eqnarray}$ .
17.09.2022, 14:23	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja natürlich. Ich hatte es richtig aufgeschrieben und dann falsch übertragen...Dankeschön!

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