Unleserlich! Gleichungssystem

17.09.2022, 18:31

Kokos

Gleichungssystem

Meine Frage:
Hallo

Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht verstehe worum es geht

Betrachtet wird
(I) ein inhomogenes lineares Gleichungssystem
(H) das zugehörige homogene Gleichungssystem

Die Lösungen sind xs1 und xs2 von (I) sowie xh1 und xh2 von (H)

Jetzt geht es darum herauszufinden ob die folgenden Linearkombinationen Lösungen von (I),(H) oder von keiner der beiden sind

zB. xh1+xh2 oder xs1-xs2 usw

Danke für Hinweise

Meine Ideen:
Ich weiß nicht was ich da machen soll. Soll ich xh1+xh2 irgendwo einsetzen?

17.09.2022, 18:50

Leopold

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RE: Gleichungssystem

Zitat:

Original von Kokos
Die Lösungen sind xs1 und xs2 von (I) sowie xh1 und xh2 von (H)

Heißt es wirklich "die" Lösungen? Oder einfach nur: Lösungen sind...

Bitte verwende LaTeX zur besseren Lesbarkeit von Formeln.

Die linke Seite des linearen Gleichungssystems definiert eine lineare Abbildung $\begin{align*} L \end{align*}$ . Für Lösungsvektoren $\begin{align*} x \end{align*}$ des homogenen Systems gilt $\begin{align*} L(x)=0 \end{align*}$ . Für Lösungsvektoren $\begin{align*} x' \end{align*}$ des inhomogenen Systems gilt $\begin{align*} L(x')=b \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} b \end{align*}$ die rechte Seite des inhomogenen Systems ist.

Wenn ich deine Anfrage richtig deute, sind dir nun zwei spezielle Lösungen $\begin{align*} x^{(\text{s})}_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} x^{(\text{s})}_2 \end{align*}$ des inhomogenen Systems gegeben. Daher gilt:

$\begin{align*} L \left( x^{(\text{s})}_1 \right) = b \, , \ \ L \left( x^{(\text{s})}_2 \right) = b \end{align*}$

Weiter kennst du zwei Lösungen $\begin{align*} x^{(\text{h})}_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} x^{(\text{h})}_2 \end{align*}$ des homogenen Systems. Für diese gilt folglich:

$\begin{align*} L \left( x^{(\text{h})}_1 \right) = 0 \, , \ \ L \left( x^{(\text{h})}_2 \right) = 0 \end{align*}$

Und nun sollst du anscheinend über irgendwelche aus diesen vier Lösungen zusammengebastelten Vektoren Aussagen machen. Nutze die vier Gleichungen oben und nutze die Eigenschaften der linearen Abbildung $\begin{align*} L \end{align*}$ , also

$\begin{align*} L(u+v)=L(u)+L(v) \end{align*}$ für Vektoren $\begin{align*} u,v \end{align*}$ passender Dimension

$\begin{align*} L \left( \lambda u \right) = \lambda L(u) \end{align*}$ für Vektoren $\begin{align*} u \end{align*}$ und Skalare $\begin{align*} \lambda \end{align*}$

17.09.2022, 19:16

Kokos

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Zitat:

Original von Leopold
Heißt es wirklich "die" Lösungen? Oder einfach nur: Lösungen sind...

Es heißt
Seien $\begin{eqnarray*} x_{(s,1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{(s,2)} \end{eqnarray*}$ Lösungen von $\begin{eqnarray*} (I) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x_{(h,1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{(h,2)} \end{eqnarray*}$ Lösungen von $\begin{eqnarray*} (H) \end{eqnarray*}$

Danke. Jetzt ist es etwas klarer

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