Differentialgleichung lösen

18.09.2022, 01:43	Nikki2	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung lösen Meine Frage: Gegeben ist das Anfangswertproblem: $\begin{eqnarray} (t+1)y'(t)=y(t)-y^{2}(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(0)=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie eine Lösung des Anfangswertproblems. Meine Ideen: Ich glaube, dass das eine Bernoullische Dgl mit $\begin{eqnarray} \alpha=2 \end{eqnarray}$ ist, deswegen würde ich wie folgt vorgehen: $\begin{eqnarray} z(t)=y^{1-\alpha}=y^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z'(t) = -\frac{1}{t+1}z-\frac{1}{t+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{h}(t)=Ce^{\int_{}^{} \! -\frac{1}{t+1} \, dt }=C\frac{1}{t+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{p}(t)=C(x)\frac{1}{t+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{p}'(t)=C'(x)\frac{1}{t+1}-C(x)\frac{1}{(t+1)^{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{p}'(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_{p}(t) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} z'(t) \end{eqnarray}$ einsetzen: $\begin{eqnarray} C'(x)\frac{1}{t+1}-C(x)\frac{1}{(t+1)^{2}} = -\frac{1}{t+1}(C(x)\frac{1}{t+1})-\frac{1}{t+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C'(x) = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C'(x) \end{eqnarray}$ integrieren: $\begin{eqnarray} C(x) = -t \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} z_{p}(t) \end{eqnarray}$ einsetzen: $\begin{eqnarray} z_{p}(t)=-\frac{t}{t+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z(t) = z_{h} + z_{p} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z(t) = C\frac{1}{t+1} -\frac{t}{t+1} \end{eqnarray}$ Anfangswert substituieren, einsetzen und C berechnen: $\begin{eqnarray} y(0)=\frac{1}{2} \Rightarrow z(0)=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2= C\frac{1}{0+1} -\frac{0}{0+1} \Rightarrow C=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z(t) = 2\frac{1}{t+1} -\frac{t}{t+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(t) = \frac{t+1}{2-t} \end{eqnarray}$ Stimmt das?
18.09.2022, 02:05	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Probe machen.
18.09.2022, 19:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kann man es auch einfach als eine DGL mit trennbaren Variablen betrachten.

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