Exponentielles Wachstum, Anfangswert |
| 18.09.2022, 12:28 | Nichtskapierer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Exponentielles Wachstum, Anfangswert Hallo zusammen, ich habe Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe zum exponentiellen Wachstum: Es ist eine neue Mülldeponie gebaut worden, deren Gesamtvolumen 2,1 Millionen Kubikmeter Müll beträgt. Bei einem jährlichen Müllaufkommen von 70000 Kubikmeter soll die Deponie für 30 Jahre ausreichen. Aber das aufkommende Müllvolumen wächst jährlich um 8 Prozent. Für wie viele Jahre reicht die Deponie? Im Lehrtext angegebene Lösung: ?Der Müllberg wächst jährlich um 8 Prozent. Das bedeutet, daß die Basis b der Exponentialfunktion den folgenden Wert hat: b = 1 + 0,08 = 1,08 Der Anfangswert a beträgt 70000 Kubikmeter Das Wachstum beschreibt die Funktionsgleichung: y = 70000 m^3 * 1,08x x ist die Zeit in Jahren Mit einer Wertetabelle wird das jährlich anfallende Müllvolumen berechnet. Wenn diese Werte addiert werden, kommt man nach 16 Jahren auf ein Gesamtvolumen von 2,1 Millionen Kubikmeter Müll.? Meine Ideen: Ich habe folgende Schwierigkeiten mit der angegebenen Lösung im Lehrtext: Anfangswert a = 70000 m^3 Da die Mülldeponie neu gebaut wurde, müßte sie am Anfang doch noch leer sein, d.h. der Anfangswert müßte 0 m^3 betragen und erst nach Ablauf des ersten Jahres ist das Müllvolumen 70000 m^3 ? Mit dem Anfangswert a = 0 ergeben Funktionen des Typs y = a*b^x aber kein exponentielles Wachstum, sondern die konstante Funktion y = 0 (denn jedes Produkt, das den Faktor 0 enthält, ergibt 0 ? Satz vom Nullprodukt) Graphen von Exponentialfunktionen des Typs y = a*b^x haben nie den Funktionswert 0, sie nähern sich zwar beliebig der x-Achse (und somit dem y-Wert 0), schneiden sie aber nie. Damit eine Exponentialfunktion den y-Wert 0 erreicht, müßte zusätzlich ein Subtrahend c in den Funktionsterm aufgenommen werden, so daß die Funktionsgleichung dann lautet: y = a*b^x ? c Würde also die Funktionsgleichung y = 70000 m^3 * 1,08^x abgeändert in: y = 70000 m^3 * 1,08^x - 70000 m^3, dann wäre das Müllvolumen bei der Eröffnung (x = 0 Jahre) der neuen Deponie zwar 0 m^3, denn 70000 m^3 * 1,08^0 - 70000 m^3 = 70000 m^3 * 1 - 70000 m^3 = 0 m3^, aber der Subtrahend - 70000 m^3 führt zu falschen y Werten für alle folgenden Jahre, z.B.: x = 1 Jahr ---> y = 70000 m^3 * 1,081 - 70000 m^3 = 0,08 * 70000 m^3 =5.600 m^3 Um meine Schwierigkeiten mit dem Anfangswert 70000 m^3 zu umgehen, habe ich für den Wert x nicht die Zeit ab Eröffnung der Deponie genommen, sondern die Zeit ab dem 1. Jahr nach der Eröffnung (d.h. 1 Jahr nach Eröffnung entspricht x = 0 Jahre, 2 Jahre nach Eröffnung entspricht x = 1 Jahr usw.) Auf diese Weise erhalte ich sowohl den geforderten Anfangswert f(x=0) = 70000 m^3 (denn f(0) = 70000 m^3 * 1,080^0 = 70000 m^3) als auch das geforderte Müllvolumen von 70000 m^3 ein Jahr nach Eröffnung der Deponie. Die Zeit t nach Eröffnung der Deponie beträgt dann: t = x + 1 Jahr Allerdings bleibt das Problem bestehen, daß das Müllvolumen auf der Deponie bei ihrer Eröffnung (t = 0 Jahre und x = -1 Jahr) schon größer als 0 m^3 ist, nämlich y = f(t = 0) = f(x = -1) = 70000 m^3 * 1,08^(-1) = 64815 m^3 Und das kann ja nicht stimmen. Die einzige Möglichkeit, die ich finden kann, um bei der Deponieeröffnung das Müllvolumen 0 m^3 zu erhalten ist, zu sagen, daß es sich ganz am Anfang nicht um exponentielles Wachstum handelt und daß erst nach der 1. Fuhre Müll das exponentielle Wachstum beginnt. Oder ist das ein Denkfehler von mir? Viele Grüße Elmar |
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| 18.09.2022, 12:42 | G180922 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Exponentielles Wachstum - Probleme mit Anfangswert Gesamtvolumen mit Wachstum: geometr. Reihe: Löse nach n auf! |
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| 18.09.2022, 13:16 | Nichts kapierer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Exponentielles Wachstum - Probleme mit Anfangswert Hallo Gast 180922, vielen Dank für Deine Antwort 
Ich komme zu der Formel n = lg(1 + 0,08*2100000/70000) / (lg 1,08) und so zu n = 15,9, gerundet n = 16 Mein Verständnisproblem bei dieser Aufgabe ist, warum hier der Anfangswert f(0) größer 0 sein kann, denn zum Zeitpunkt 0 wird die Deponie ja gerade erst eröffnet und dann können sich nicht schon 70000 Kubikmeter Müll auf ihr befinden. Diesen scheinbaren Widerspruch verstehe ich nicht 
Ist es richtig, wenn ich davon ausgehen, daß im Zeitraum von x = 0 bis zur ersten Müllabladung auf der Deponie der Zusammenhang zwischen Zeit und abgeladener Müllmenge nicht exponentiell sein kann? |
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| 18.09.2022, 13:24 | G180922 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Exponentielles Wachstum - Probleme mit Anfangswert Es ist die Formel für nachschüssige "Einzahlungen". Der Anfangswert nach einem Jahr ist 70000. Nach einem Jahr sind 70000 angefallen. Google mal unter Rentenrechnung! Dort unter Grundformeln. |
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| 18.09.2022, 13:27 | Nichts-Kapierer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Exponentielles Wachstum - Probleme mit Anfangswert Hallo G180922, 1000 Dank für Deine schnelle Hilfe! 
Ich wünsche Dir noch einen schönen Sonntag 
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| 18.09.2022, 13:33 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Exponentielles Wachstum - Probleme mit Anfangswert Alternativ kannst Du auch die Stammfunktion der Wachstumsfunktion bilden und die Integrationskonstante C entsprechend wählen, so dass der Anfangswert Null ist. Viele Grüße Steffen |
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| 18.09.2022, 15:25 | NichtsKapierer | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Exponentielles Wachstum - Probleme mit Anfangswert Hallo Steffen, vielen Dank
Ich wünsche Dir einen schönen Sonntag
Viele Grüße Elmar |
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