Mengenlehre

18.09.2022, 14:23

DominicRoes

Mengenlehre

Meine Frage:
Hallo allerseits ich habe eine Frage zur Thematik Mengenlehre / Potenzmengen.
In der Aufgabenstellung ist folgendes gegeben:
P(X) := {A c X Teilmenge}

Nun soll ich Beweisen, dass aus X c Y folgt, dass P(X) c P(Y)

Das “c” soll für das Zeichen echte Teilmenge stehen.

Könnte mir dabei jemand helfen?

Meine Ideen:
Mir ist klar, dass es sich hier um eine echte Teilmenge handelt. Auch ist mir bewusst dass falls z.b. a Element X ist, dass dann auch a Element Y sein muss.
Doch ich sehe den Zusammenhang nicht oder ich verfolge einen falschen Ansatz?
Vielen Dank für eure Hilfe Augenzwinkern

18.09.2022, 15:07

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RE: Mengenlehre
Sei $\begin{eqnarray*} A\subset X \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Dann ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist.
Aber jedes Elemente $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ ist auch ein Element von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Mit deinem

Zitat:

falls z.b. a Element X ist, dass dann auch a Element Y sein muss.

bist du schon fertig.

18.09.2022, 16:17

DominicRoes

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RE: Mengenlehre
Vielen Dank für Ihre Antwort.
Könnten Sie mir vielleicht erklären wieso, dass ich schon fertig bin, denn die Potenzmengen habe ich ja gar nicht mit einbezogen… ?
Ich habe im Nachhinein noch eine Abbildung der Fragestellung hochgeladen.
Mit freundlichen Grüssen

18.09.2022, 16:28

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RE: Mengenlehre
Du kannst ruhig Sie zu mir sagen, aber wir duzen uns hier Big Laugh

Die Potenzmengen sind da schon im Spiel, weil die Aussage "Sei $\begin{eqnarray*} A\subset X \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ " doch gleichbedeutend ist mit der Aussage "Sei $\begin{eqnarray*} A\in {\cal P} (X) \end{eqnarray*}$

18.09.2022, 16:31

DominicRoes

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RE: Mengenlehre
Okay vielen Dank Augenzwinkern

Ich glaube ich komme nun draus. Ich habe noch meinen Schriftlichen Ansatz zur Lösung in meiner ersten Antwort angehängt.
Vielen Dank für die Hilfe.

18.09.2022, 16:34

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RE: Mengenlehre
Bei dir fehlt tatsächlich der Bezug zu den Potenzmengen. Jedenfalls ist mir der erste Satz in deiner Lösung völlig schleierhaft.

18.09.2022, 17:24

DominicRoes

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RE: Mengenlehre
Hmm ich werde dass nochmals anschauen, vielleicht komme ich ja dann draus. Vielen Dank fuer deine Hilfe

18.09.2022, 17:51

Mathema

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Versuche das mal sauber mit Text zu formulieren und zu begründen:

$\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{P}(X) \implies A\subset X\subset Y\implies A\subset Y\implies A\in \mathcal{P}(Y) \end{eqnarray*}$ .

Anstatt solcher Phrasen wie "somit ist klar" (erst recht, wenn dir der Beweis nicht selbst klar ist) solltest du lieber "laut Definition" und "laut Voraussetzung" benutzen. Ein Beweis beginnt denn oft mit dem Wort "sei", was einer Definition entspricht. Hier definierst du eben erstmal die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

19.09.2022, 06:44

Finn_

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Langfassung in Form natürlichen Schließens im Sequenzen-Stil.

Satz. Es gilt $\begin{eqnarray*} \forall X,Y\colon X\subset Y\Rightarrow\mathcal P(X)\subset P(Y). \end{eqnarray*}$

Beweis (Kurzfassung). Laut Definition ist $\begin{eqnarray*} \mathcal P(X)\subset\mathcal P(Y) \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \forall A\colon A\subset X\Rightarrow A\subset Y. \end{eqnarray*}$ Hat man nun $\begin{eqnarray*} A\subset X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X\subset Y, \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} A\subset Y \end{eqnarray*}$ gemäß Transitivität. q.e.d.

Beweis (Langfassung).
1. $\begin{eqnarray*} A\subset X, X\subset Y\vdash A\subset Y\qquad \end{eqnarray*}$ (gemäß Transitivität)
2. $\begin{eqnarray*} X\subset Y\vdash A\subset X\Rightarrow A\subset Y\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 1.)
3. $\begin{eqnarray*} X\subset Y\vdash A\in\mathcal P(X)\Rightarrow A\in\mathcal P(Y)\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 2. und Def. Potenzmenge)
4. $\begin{eqnarray*} X\subset Y\vdash \forall A\colon A\in\mathcal P(X)\Rightarrow A\in\mathcal P(Y)\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 3.)
5. $\begin{eqnarray*} X\subset Y\vdash\mathcal P(X)\subset\mathcal P(Y)\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 4. und Def. Teilmenge)
6. $\begin{eqnarray*} \vdash X\subset Y\Rightarrow\mathcal P(X)\subset P(Y)\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 5.)
7. $\begin{eqnarray*} \vdash \forall X,Y\colon X\subset Y\Rightarrow\mathcal P(X)\subset P(Y)\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 6.)
q.e.d.

Satz (Transitivität). Gilt $\begin{eqnarray*} A\subset X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X\subset Y, \end{eqnarray*}$ dann gilt auch $\begin{eqnarray*} A\subset Y. \end{eqnarray*}$

Beweis (Kurzfassung). Definition von $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ einsetzen. Nun Kettenschluss. q.e.d.

Beweis (Langfassung).
Sei $\begin{eqnarray*} \Gamma := \{(\forall x\colon x\in A\Rightarrow x\in X),(\forall x\colon x\in X\Rightarrow x\in Y)\}. \end{eqnarray*}$
1. $\begin{eqnarray*} \Gamma,x\in A\vdash \forall x\colon x\in A\Rightarrow x\in X\qquad \end{eqnarray*}$ (logisches Axiom)
2. $\begin{eqnarray*} \Gamma,x\in A\vdash x\in A\Rightarrow x\in X\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 1.)
3. $\begin{eqnarray*} \Gamma,x\in A\vdash x\in A\qquad \end{eqnarray*}$ (logisches Axiom)
4. $\begin{eqnarray*} \Gamma,x\in A\vdash \forall x\colon x\in X\Rightarrow x\in Y\qquad \end{eqnarray*}$ (logisches Axiom)
5. $\begin{eqnarray*} \Gamma,x\in A\vdash x\in X\Rightarrow x\in Y\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 4.)
6. $\begin{eqnarray*} \Gamma,x\in A\vdash x\in X\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 2. und 3.)
7. $\begin{eqnarray*} \Gamma,x\in A\vdash x\in Y\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 5. und 6.)
8. $\begin{eqnarray*} \Gamma\vdash x\in A\Rightarrow x\in Y\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 7.)
9. $\begin{eqnarray*} \Gamma\vdash\forall x\colon x\in A\Rightarrow x\in Y\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 8.)
10. $\begin{eqnarray*} A\subset X, X\subset Y\vdash A\subset Y\qquad \end{eqnarray*}$ (mit 9. und Def. Teilmenge)
q.e.d.

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