Existenz und Eindeutigkeit

18.09.2022, 15:50

Melan

Existenz und Eindeutigkeit

Meine Frage:

Wie überprüfe ich, ob eine Lösung existiert und eindeutig ist? Und wie finde ich das dazugehörige Intervall?
Ich habe z.B. folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} y'(t) = t + y^{2}(t), \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Die Lösung ist:
Dgl ist auf dem Rechteck D = [-1, 1] x [0, 2] stetig und Lipschitzstetig bzgl. y

$\begin{eqnarray*} M = max |f(t, y)| =1+2^{2}=5 \end{eqnarray*}$

Dann existiert eine eindeutige Lösung auf $\begin{eqnarray*} [-\frac{1}{5},\frac{1}{5}]<br /> <br /> \end{eqnarray*}$
Meine Ideen:
Laut dem Satz von Peano müsste die DGL mindestens eine Lösung haben, da die Funktion in der Umgebung von $\begin{eqnarray*} t_{0}= 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_{0} = 1 \end{eqnarray*}$ stetig ist.
Wenn ich das Rechteck $\begin{eqnarray*} D = [-1,1]x[0,2] \end{eqnarray*}$ aus der Lösung verwende, dann ist die Funktion lipschitzstetig
mit L = 4.

Aber wie kommt man auf das Rechteck $\begin{eqnarray*} D = [-1,1]x[0,2] \end{eqnarray*}$ ? Kann ich irgendein beliebiges Rechteck nehmen, auf dem die Funktion lipschitzstetig ist?

Und wie kommt man auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [-\frac{1}{5},\frac{1}{5}] \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} min\left\{a,\frac{b}{M}\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = [-a,a]x[-b,b] = [-1,1]x[0,2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} min\left\{1,\frac{2}{5}\right\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow \epsilon=\frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 1>\frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

Das Intervall I müsste dann doch sein:

$\begin{eqnarray*} I=[x_{0}-\epsilon, x_{0}+\epsilon] = [0-\frac{2}{5},0+\frac{2}{5}] = [\frac{2}{5},\frac{2}{5}] \end{eqnarray*}$

18.09.2022, 17:18

Huggy

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RE: Existenz und Eindeutigkeit

Zitat:

Original von Melan
Aber wie kommt man auf das Rechteck $\begin{eqnarray*} D = [-1,1]x[0,2] \end{eqnarray*}$ ? Kann ich irgendein beliebiges Rechteck nehmen, auf dem die Funktion lipschitzstetig ist?

Im Prinzip ja. Es muss natürlich den Anfangspunkt $\begin{eqnarray*} (t_0,y_0) \end{eqnarray*}$ enthalten.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} D = [-a,a]x[-b,b] = [-1,1]x[0,2] \end{eqnarray*}$

So ist das nicht ganz richtig. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} D=[t_0-a,t_0+a]x[y_0-b,y_0+b] \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} y_0=1 \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ .

21.09.2022, 11:29

Melan

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RE: Existenz und Eindeutigkeit
Danke smile

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