Was ist der Unterschied zwischen einem WK-Maß und der Zähldichte (diskreter WK-Raum)?

18.09.2022, 17:14

Frederik

Was ist der Unterschied zwischen einem WK-Maß und der Zähldichte (diskreter WK-Raum)?

Meine Frage:
Hi, ich habe zunächst eine grundlegende Frage, weil ich mir den Unterschied nicht richtig klarmachen konnte.

Es gibt ein WK-Maß P auf einem endlichen Raum Omega und immer eine zugehörige Zähldichte von P.
Was ist genau der Unterschied, wie muss ich mir das vorstellen.

zusätzlich kommt später ja die Verteilung zb einer diskreten Zufallsvariable.

Ich wäre um jede Hilfe sehr dankbar.

Meine Ideen:
Ich habe es versucht über Mengen und Abbildungen mir klarzumachen, da ja eine Zufallsvariable nur eine Abbildung ist, die von der Grundmenge in die Bildmenge abbildet. oder?

18.09.2022, 18:52

HAL 9000

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Die Zähldichte (nennen wir sie $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ) beschreibt einfach die Wahrscheinlichkeiten von einzelnen Elementarereignissen, d.h.

$\begin{eqnarray*} f(\omega) = P\left(\{\omega\}\right) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ .

Für endliche oder abzählbar unendliche Grundmengen $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , wo die zugehörige Sigma-Algebra gleich der Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist, wird durch ein solches $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. Das W-Maß für andere Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann einfach schlicht durch $\begin{eqnarray*} P(A) = \sum_{\omega\in A} f(\omega) \end{eqnarray*}$ .

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Bei überabzählbaren Grundmengen $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist das i.a. nicht ausreichend: Nehmen wir z.B. $\begin{eqnarray*} \Omega=[0,1] \end{eqnarray*}$ und als W-Maß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ das Lebesguemaß darauf: Da ist die Information $\begin{eqnarray*} P\left(\{\omega\}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ allein ziemlich nichtssagend über das W-Maß, denn das gilt auch für sämtliche anderen stetigen Maße auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Ein $\begin{eqnarray*} P(A) \stackrel{?}{=} \sum_{\omega\in A} f(\omega) \end{eqnarray*}$ wie oben funktioniert bei überabzählbaren $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einfach nicht!

Zitat:

Original von Frederik
zusätzlich kommt später ja die Verteilung zb einer diskreten Zufallsvariable.

Eins nach dem anderen: Von Zufallsgrößen ist bei der obigen Betrachtung von W-Maß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ noch keine Rede.

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