Limes inferior von Mengen

18.09.2022, 17:38	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes inferior von Mengen Liebes Matheboard, gegeben seien die Mengen $\begin{eqnarray} B_n=\mathbb{N}\backslash \{2k\|k\in \mathbb{N}, 1 \leq k \leq n\} \end{eqnarray}$ jetzt soll der limes inferior dieser Mengen bestimmt werden. Idee: Ich bin über die Alternativdefinition des Limes Inferior vorgegangen. Also im lim inf sind alle Elemente, die in höchsten endlich vielen B_n nicht enthalten sind und so schließe ich dann also, dass der lim inf genau die ungeraden Zahlen sind. Für einen vollständigen Beweis ist das ein wenig dünn... ich hoffe immerhin die Richtung stimmt? Freue mich über Tipps! Gruß, eure HiBee.
18.09.2022, 17:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für einen Beweis musst du nur eine gerade Zahl 2m und eine ungerade Zahl 2m+1 betrachten. In welchen unendlich vielen $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ liegt 2m nicht ? In welchen $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ liegt 2m+1 ? Das war's. Nicht nur vermuten sondern konkret machen.
18.09.2022, 18:02	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo also 2m liegt in allen B_n nicht drin mit n>=m, also in unendlich vielen nicht, also nicht im limes inferior. 2m+1 liegt in allen B_n drin, also insbesondere im limes inferior. Reicht das?
18.09.2022, 21:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das reicht nicht nur, das ist ein perfekter Beweis. Du musst nur noch an deinem Selbstbewusstsein arbeiten, indem du die zweifelnde Frage "Reicht das?" durch das entschlossene Beweis-Ende "qed" ersetzt.
19.09.2022, 10:33	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach prima Dankesehr.
19.09.2022, 11:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Referenz ein Beweis über die Schnitt/Vereinigungsdefinition: $\begin{eqnarray} \liminf B_n = \bigcup_{n = 1}^\infty \bigcap_{m=n}^\infty B_m \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} B_n \subset B_m \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} n \geq m \end{eqnarray}$ . D.h. $\begin{eqnarray} \bigcap_{m=n}^\infty B_m = B_\infty \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} B_\infty=\mathbb{N}\backslash \{2k\|k\in \mathbb{N}, 1 \leq k \leq \infty\} \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} \liminf B_n = \bigcup_{n = 1}^\infty \bigcap_{m=n}^\infty B_m = \bigcup_{n = 1}^\infty B_\infty = B_\infty \end{eqnarray}$ . Analog kannst du es auch mit $\begin{eqnarray} \limsup \end{eqnarray}$ zeigen.
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