Linearität?

19.09.2022, 09:50	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearität? Hi Leute Ich brauche kurz euren Rat. Kann ich für eine reelle Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray}$ bei beliebiger ganzer Zahl $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} f(2a)-2f(a)=3 \end{eqnarray}$ schlussfolgern, dass es sich bei der Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und eine lineare Funktion handelt? Dass für eine lineare Funktion dieser Zusammenhang gilt, habe ich überprüft. Mich interessiert jedoch die Rückrichtung. Also ob es sich dabei ausschließlich um lineare Funktionen handeln muss.
19.09.2022, 10:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität? Muss es nicht. Die Rekursionsbedingung ist dafür zu schwach. Aus $\begin{eqnarray} f(b) \end{eqnarray}$ folgen die Werte für $\begin{eqnarray} f(2^n b) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ wo $\begin{eqnarray} 2^n b \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ , aber auch nur die. D.h. du kannst $\begin{eqnarray} f(1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(3) \end{eqnarray}$ beliebig setzen und das zu einer Funktion fortsetzen, die die Funktionsgleichung löst. Edit: Da $\begin{eqnarray} f(0)=-3 \end{eqnarray}$ ist, kann man es dann nicht-affin fortsetzen.
19.09.2022, 10:26	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Kontrabeispiel: $\begin{eqnarray} f(a) := \begin{cases}a-3&\text{wenn}\;3\mid a,\\ 2a-3 &\text{sonst.}\end{cases} \end{eqnarray}$
19.09.2022, 10:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität? Aus der gegebenen Funktionalgleichung kann man folgern $\begin{eqnarray} f(2a)+3 = 2\left(f(a)+3\right) \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} f\left(2^ka\right) = 2^k\left(f(a)+3\right)-3\qquad () \end{eqnarray}$ folgern. Soweit ich sehe ist $\begin{eqnarray} f(0)=-3 \end{eqnarray}$ festgelegt, ansonsten kann man $\begin{eqnarray} f(a) \end{eqnarray}$ für alle ungeraden ganzen Zahlen FREI* wählen, die restlichen Funktionswerte $\begin{eqnarray} f(n) \end{eqnarray}$ sind via (*) dann aber festgelegt.
19.09.2022, 11:02	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität? Das verstehe ich sogar mittlerweile. Anders ausgedrückt ist $\begin{eqnarray} f(x)=mx+n \end{eqnarray}$ nur ein Spezialfall, der hier die Gleichung erfüllt. Es gibt aber noch unendlich viele andere Funktionen, die sich gar nicht alle geschlossen darstellen lassen müssen, richtig?
19.09.2022, 13:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt drauf an, wie eng man den Begriff "geschlossene Darstellung" sieht. Nach meiner Ansicht ist $\begin{eqnarray} f(n) = \begin{cases} -3 &\mbox{ für }n=0\\ 2^k\cdot\left(f(2\ell+1)+3\right)-3 &\mbox{ für }n=2^k(2\ell+1)\mbox{ mit }k\in\mathbb{N}_0,\,\ell\in\mathbb{Z}\end{cases} \end{eqnarray}$ schon sowas wie eine geschlossene Darstellung, wobei die Werte $\begin{eqnarray} f(2\ell+1) \end{eqnarray}$ (also die Werte an allen ungeraden Stellen) frei wählbare Parameter sind.
Anzeige

20.09.2022, 10:59	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, ich verstehe. Vielen Dank für eure Unterstützung!!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »