WSK Limsup

19.09.2022, 11:05

HiBee123

WSK Limsup

Liebes Matheboard,

es gilt die WSK eines limes superior zu berechnen... und ich weiß einfach nicht weiter.

Sei $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ Folge von Ereignissen mit $\begin{eqnarray*} P(C_n)=\frac{2^n}{n!} \end{eqnarray*}$ jetzt gilt es den $\begin{eqnarray*} P(lim sup C_n)_{n \rightarrow \infty} \end{eqnarray*}$ zu berechnen...

Ich hab in der Formelsammlung folgende Formel gefunden:
$\begin{eqnarray*} P({lim sup A_n}_{n \rightarrow \infty})=lim_{n \rightarrow \infty}P(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k) \end{eqnarray*}$

aber wie weiter? Es gibt noch die Formel von Sylvester-Poincare... aber so wie wir die definiert haben taugt die hier einfach nicht... weil wir nicht mit i=1 sondern mit i=k starten...

und die sigma-additivität dürfen wir auch nicht benutzen, weil die Ereignisse nicht zwingend paarweise disjunkt sind...

Uff... ich weiß nicht weiter...

Gruß,
Eure HiBee

19.09.2022, 11:16

G190922

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RE: WSK Limsup
Berechne mal die ersten 5 oder 6 Folgeglieder!

19.09.2022, 11:16

IfindU

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RE: WSK Limsup

Zitat:

Original von HiBee123
und die sigma-additivität dürfen wir auch nicht benutzen, weil die Ereignisse nicht zwingend paarweise disjunkt sind...

Du brauchst auch keine Gleichheit, eine Ungleichung tut es auch. Auch für paarweise nicht-disjunkte Ereignisse gilt $\begin{eqnarray*} P(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k) \leq \sum_{k=n}^\infty P(A_k) \end{eqnarray*}$ .

19.09.2022, 11:26

HiBee123

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RE: WSK Limsup
0? Kann das sein? Aber wie argumentiere ich hier sauber, dass Die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{\infty} C_k \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht für n gegen unendlich?

19.09.2022, 11:55

IfindU

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RE: WSK Limsup
Du meinst $\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^\infty P(C_k) \end{eqnarray*}$ . Und tatsächlich wäre das falsch, wenn $\begin{eqnarray*} P(C_k) = \frac 1 k \end{eqnarray*}$ wäre.

D.h. es hat etwas mit Reihenkonvergenz zu tun.

19.09.2022, 12:13

HAL 9000

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Das ist doch auch wieder ein Beispiel für Borel-Cantelli (war letztens ja schon Thema bei dir): Es ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} P(C_n) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2 < \infty \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} P\left( \limsup_n C_n\right) = 0 \end{eqnarray*}$ .

19.09.2022, 12:14

HiBee123

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RE: WSK Limsup
Ja genau ich meinte $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{\infty} P(C_k) \end{eqnarray*}$
ich weiß auch, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} P(C_k)=e^2 \end{eqnarray*}$ ist, weil es die Exponentialreihe ist. Da haen wir also unsere Reihenkonvergenz. und jetzt kann ich das Cauchykriterium nehmen und weiß, dass die letzten Glieder kleiner als epsilon sein müssen, und tada habe ich Konvergenz gegen 0. qed.

19.09.2022, 12:18

HAL 9000

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Ich verstehe das jetzt so, dass du an diesem Beispiel die Beweisidee von Borel-Cantelli (erster Teil) einmal nachvollziehen willst?

19.09.2022, 12:22

HiBee123

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Ach so, klar! Hatte deinen Beitrag noch nicht gesehen gehabt, als ich meine Antwort schrieb...
Ne mit Borel-Cantelli ist das sofort klar...!

(Aber wäre auch mein Ansatz mit Cauchy-Kriterium korrekt? )

19.09.2022, 12:26

IfindU

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Wie du das Cauchy-Kriterium anwenden willst, ist mir nicht ganz klar.

Für konvergente Reihen gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^{m-1} a_n + \sum_{n=m}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

Da für $\begin{eqnarray*} m \to \infty \end{eqnarray*}$ der erste Summand auf der rechten Seite gegen die linke Seite konvergiert, konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=m}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ gegen 0.

19.09.2022, 12:31

HiBee123

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Ja so in der Art hatte ich mir das auch vorgestellt, aber dein Beweis ist noch eleganter, als wenn ich mit Epsilons argumentieren Müsste... Dankeschön. smile

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