Unkorreliert und zweipunktverteilt => stochastisch unabhängig

19.09.2022, 15:09	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Unkorreliert und zweipunktverteilt => stochastisch unabhängig Liebes Matheboard, ich häng jetzt schon eine Weil über diesem Problem: $\begin{eqnarray} X\sim bin(1,p) , Y\sim bin (1,q) \end{eqnarray}$ über einem WSK-Raum mit $\begin{eqnarray} p,q \in (0,1) \end{eqnarray}$ Jetzt z.z.: X,Y sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn sie unkorreliert sind. Die Hinrichtung hab ich noch geschafft. Aus der st. unabhängigkeit follgt sofort E(XY)=EX*EY und damit sofort die unkorreliertheit... aber bei der anderen Richtung harkts. Kann mir da jemand n Tipp geben? Gruß, eure HiBee
19.09.2022, 17:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ sind 0-1-Zufallsgrößen, daher gibt es zugehörige Ereignisse $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , deren Indikatorfunktionen sie sind, d.h. $\begin{eqnarray} X=1_A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y=1_B \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \operatorname{cov}(X,Y)=0 \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} E(XY)=E(X)\cdot E(Y) \end{eqnarray}$ , gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} E\left(1_{A\cap B}\right) = E\left(1_A\right)\cdot E\left(1_B\right) \end{eqnarray}$ wiederum äquivalent zu $\begin{eqnarray} P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray}$ , was Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ bedeutet. In diesem Fall sind dann auch die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} 1_A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1_B \end{eqnarray}$ unabhängig.
19.09.2022, 18:06	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige, HAL, ich hab das noch nicht ganz verstanden... Wieso folgt aus der Gleichheit der Erwartungswerte, die Gleichheit der WSKten?
19.09.2022, 19:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Indikator-Zufallsgrößen sind ganz normale diskrete Zufallsgrößen mit $\begin{eqnarray} 1_A(\omega) = \begin{cases} 1 &\mbox{ für }\omega\in A\\ 0 &\mbox{ für }\omega\not\in A\end{cases} \end{eqnarray}$ . Daher gilt für deren Erwartungswert $\begin{eqnarray} E\left(1_A\right) = 1\cdot P(1_A=1) + 0\cdot P(1_A=0) = P(1_A=1) = P(A) \end{eqnarray}$ , kann man sich ein für allemal merken. Außerdem habe ich oben genutzt $\begin{eqnarray} 1_A\cdot 1_B = 1_{A\cap B} \end{eqnarray}$ , kannst du dir auch mal überlegen, warum das immer gilt.
19.09.2022, 22:44	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} 1_{A\cap B} \end{eqnarray}$ gilt wenn A und B gilt, also wenn 1_A und 1_B gelten. Daher die Gleichung.

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