Zähldichte berechnen

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20.09.2022, 13:25	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Zähldichte berechnen Hallo liebes Matheboard Wir haben 2 Zufallsvariablen X und Y mit einer gemeinsamen Verteilung: $\begin{eqnarray} P(X=i,Y=j)=f(i,j):=\begin{cases}p(1-p)^{i-1}& i \geq 2, j=0\\p^2(1-p)^{i-3}&i\geq3,j=1\\0&\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ mit Werten in $\begin{eqnarray} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ für p in (0,1) jetzt soll die Zähldichte von Y und die resultierende WSKVerteilung berechnet werden. Meine Idee: Die Zähldichte von Y ist ja das Integral des Ausdrucks dx. da unsere Funktion diskret ist, also eine Summe: $\begin{eqnarray} f^Y(0)=\sum\limits_{k=2}^{\infty} p(1-p)^{i-1}= p\sum\limits_{k=0}^{\infty} (1-p)^{i+1}= p(1-p)\sum\limits_{k=0}^{\infty} (1-p)^{i}=p(1-p) \frac{1}{1-(1-p)}=1-p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^Y(1)=\sum\limits_{k=3}^{\infty} p^2(1-p)^{i-3}= p^2\sum\limits_{k=0}^{\infty} (1-p)^{i}=p^2 \frac{1}{1-(1-p)}=p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^Y(k)=0 \end{eqnarray}$ sonst damit hab ich dann die Zähldichte und die WSK ist doch dann einfach P(0)=1-p P(1)=p und P(k)=0 sonst, oder? Stimmt das so? Gruß, Eure HiBee
20.09.2022, 14:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vom Ergebnis her stimmt es. Aber ich würde nicht P(0) bzw. P(1) schreiben, denn $\begin{eqnarray} P\left(\cdot\right) \end{eqnarray}$ ist hier für das grundlegende W-Maß reserviert, nicht für die Verteilung von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Schreibe besser $\begin{eqnarray} P(Y=k) = P^Y(\{k\}) = f^Y(k) \end{eqnarray}$ (also irgend eine der drei Schreibweisen).
20.09.2022, 14:52	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
okay! Danke. jetzt schließt sich die nächste Teilaufgabe an , die ich einfach nicht verstehen mag... Wir sollen die WSK : $\begin{eqnarray} P(X\leq 2\| Y=j) \end{eqnarray}$ berechnen... Da weiß ich nicht mehr... ich meine, es kann ja eigentlich nur p(1-p) sein. aber das scheint mir zu einfach...
20.09.2022, 16:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, das Ergebnis hängt schon von $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ ab ... Geht doch einfach streng nach Definition vor, d.h. $\begin{eqnarray} P(X\leq 2 \mid Y=j) = \frac{P(X\leq 2,Y=j)}{P(Y=j)} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} j=0 \end{eqnarray}$ sowie für $\begin{eqnarray} j=1 \end{eqnarray}$ . Die Nenner hast du ja gerade eben berechnet, und die Zähler sind direkt der gegebenen gemeinsamen Verteilung entnehmbar.
20.09.2022, 18:03	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, dann komm ich auf p für j=0 und auf 0 sonst. korrekt?
20.09.2022, 19:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt.
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20.09.2022, 19:21	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
20.09.2022, 19:54	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach stopp es gibt noch mehr Teilaufgaben! Fast übersehen: Was ist $\begin{eqnarray} P(Y=j\|X=2) \end{eqnarray}$ wenn wir wieder Einsetzen: $\begin{eqnarray} P(Y=j\|X=2)=\frac{P(Y=j,X=2)}{P(X=2)} \end{eqnarray}$ für j=1 ist das wieder 0 und für j=0 ist der Zähler p(1-p) und muss ich für den Nenner nochmal komplett die Randdichte ausrechnen? oder geht das einfacher?
20.09.2022, 20:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} P(Y=1\mid X=2)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(Y=0\mid X=2)=1 \end{eqnarray}$ ergeben sich sowohl aus der Rechnung, sollte aber auch inhaltlich völlig einleuchtend sein: X=2 gibt es bei dieser gemeinsamen Verteilung nur wenn Y=0 ist.
21.09.2022, 11:34	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du jetzt die Randdichte bestimmt? Jedenfalls die letzte Teilaufgabe ist dann noch die nicht Unabhängigkeit von X und Y zu zeigen. Da würde ich einfach das letzte Resultat benutzen und sage P(Y=0\|X=2)=1, aber P(Y=0)=p und da p in (0,1) ist sind die nicht gleich. qed
21.09.2022, 18:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist eine von vielen Möglichkeiten das zu tun. Man kann das ganze auch noch abrunden, indem man die gesamte Randverteilung bzgl. $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ausrechnet - auch wenn das hier wohl nicht explizit gefordert war: $\begin{eqnarray} P(X=i) = \begin{cases}p(1-p)& i = 2\\p(1-p+p^2)\cdot (1-p)^{i-3}&i\geq 3\\0&\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$
21.09.2022, 19:11	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Dankeschön!

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