Freude und zweite Liga

20.09.2022, 20:33

motka

Freude und zweite Liga

Ich habe ein kleines Verständnisproblem zur bedingten Wahrscheinlichkeit.

Wir haben zwei Ereignisse: A:"Spieler kommen mit Freude" und B:"Kommen von der zweiten Liga".

20 % der Spieler kommen mit Freude. 10 % aller Spieler kommen mit Freude und kommen von der zweiten Liga. Von denjenigen, die nicht mit Freude kommen, kommen 60 % von der zweiten Liga.

Jetzt würde ich sagen, $\begin{eqnarray*} P_{A}(B) = 0.1 \end{eqnarray*}$ , aber das ist falsch, richtig wäre $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = 0.1 \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich aber nicht.

Wie kann ich mir das genau vorstellen? Und wie genau kann ich das unterscheiden?

Liebe Grüße

21.09.2022, 08:26

HAL 9000

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Bei den angegebenen 10% werden die zwei Ereignisse "kommen mit Freude" (A) sowie "kommen von der zweiten Liga" (B) durch UND verknüpft, d.h., beide Ereignisse sollen gemeinsam eintreten, das ist der Durchschnitt der beiden Ereignisse, daher ist $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ gesucht, vollkommen richtig.

Dein $\begin{eqnarray*} P_A(B) \end{eqnarray*}$ kennzeichnet hingegen eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die wird durch ganz andere Formulierungen ausgedrückt, z.B.

"10% aller derjenigen Spieler, die mit Freude kommen, kommen auch aus der zweiten Liga."

D.h. W-Maß $\begin{eqnarray*} P_A \end{eqnarray*}$ wirkt auf einer anderen Grundmenge: Nicht mehr wie $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf der Menge aller Spieler, sondern nur auf der Menge der Spieler, die mit Freude kommen.

21.09.2022, 08:58

motka

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Hey danke erstmal,

das hab ich leider nicht immer noch nicht so ganz verstanden. Der erste Teil ist klar. Kann ich nachvollziehen.

Aber:

Zitat:

10% aller derjenigen Spieler, die mit Freude kommen, kommen auch aus der zweiten Liga.

Ist hier aber auch kein verstecktes "UND"? Kommen mit Freunde und kommen aus der zweiten Liga.

21.09.2022, 18:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von motka
Ist hier aber auch kein verstecktes "UND"? Kommen mit Freunde und kommen aus der zweiten Liga.

Gewissermaßen schon, aber bezogen auf dieses $\begin{eqnarray*} P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} \end{eqnarray*}$ nur im Zähler des Bruchs rechts!!! Wie ich schon sagte: Das ganze bezieht sich auf eine andere Grundmenge: Nicht $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ (gesamter Grundraum) sondern nur $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (als Bedingung).

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Nehmen wir ein Beispiel, was zu deinen Vorgaben passt:

100 Spieler insgesamt, davon

10 mit Freude und aus der zweiten Liga
10 mit Freude und nicht aus der zweiten Liga
48 nicht mit Freude, aber aus der zweiten Liga
32 weder mit Freude noch aus der zweiten Liga

Dann ist $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = \frac{10}{100} = 0.1 \end{eqnarray*}$ direkt gegeben, und auch die anderen deiner Werte $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{10+10}{100} = 0.2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(B\mid A^c) = \frac{48}{48+32} = 0.6 \end{eqnarray*}$ . sind erfüllt.

Hier gilt jedoch $\begin{eqnarray*} P_A(B) = \frac{10}{10+10} = 0.5 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} 0.1 \end{eqnarray*}$ .

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