Fundamentalsystem

21.09.2022, 11:52

Melan

Fundamentalsystem

Meine Frage:

Wie berechne ich ein Fundamentalsystem für:

$\begin{eqnarray*} y'(t)= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} y(t) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Ich berechne erstmal die Eigenwerte durch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich erhalte $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 2 \end{eqnarray*}$

Die Eigenwerte würde ich jetzt wieder in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 1 \end{eqnarray*}$ :

Die Eigenwerte würde ich jetzt wieder in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-1 & 1 \\ 0 & 2-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 2 \end{eqnarray*}$ :

Die Eigenwerte würde ich jetzt wieder in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-2 & 1 \\ 0 & 2-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Matrix = 0 setzen und lösen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow v_{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow v_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Vektoren in der Lösung sind aber:

$\begin{eqnarray*} v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man dadrauf?

21.09.2022, 13:41

Huggy

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RE: Fundamentalsystem

Zitat:

Original von Melan
Die Eigenwerte würde ich jetzt wieder in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetzen:

Welchen Zweck soll das haben?

Benötigt werden die Eigenvektoren zu den beiden Eigenwerten und das sind

$\begin{eqnarray*} v_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu jedem Eigenwert gehört also genau ein Eigenvektor und in diesem Fall ergeben die Eigenvektoren das Fundamentalsystem. Die allgemeine Lösung ist dann

$\begin{eqnarray*} y(t)=c_1 v_1 e^{\lambda_1 t}+c_2v_2 e^{\lambda_2 t} \end{eqnarray*}$

Man bestätigt das auch leicht durch Nachrechnen.

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