Bayessche Statistik

21.09.2022, 13:48

gutefrage12

Bayessche Statistik

Hallo,

ich komme gerade bei folgender Aufgabe nicht weiter. Anbei befindet sich das Bayesian Belief Network, um das es geht. Meine Aufgabe ist es die Wahrscheinlichkeit P(M/E nicht) auszurechnen, also die Wahrscheinlichkeit, dass Mary anruft gegeben, dass kein Erdbeben stattfindet.

Mein Ansatz sieht wie folgt aus:

P(M/E nicht) = P(E nicht/M) * P(M) / 1-P(E)

Dies wäre ja die Standardformel von Bayes die man anwenden muss. Das 1-P(E) ist ja klar.

Das P(M) würde ich wie folgt ausrechnen:

P(M)= P(M/A)*P(A)+P(M/A nicht)*P(A nicht)

Ich weiß allerdings nicht, wie man auf das P(E nicht/M) kommen soll. Kann mir da wer helfen?

Viele Grüße

21.09.2022, 14:24

G210922

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RE: Bayessche Statistik
Gibt es dazu auch einen Aufgabentext?

21.09.2022, 14:38

gutefrage12

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RE: Bayessche Statistik
Nein, es war einfach etwas, wo ich mich gefragt habe, wie man das berechnen soll.

VG

21.09.2022, 14:59

Huggy

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RE: Bayessche Statistik
Das sollte sich doch ohne viel Formalismus ausrechnen lassen. Es hat kein Erdbeben stattgefunden. In der Tabelle $\begin{eqnarray*} P(A|B,E) \end{eqnarray*}$ sind also nur die beiden Zeilen $\begin{eqnarray*} T F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F F \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Die Zeile $\begin{eqnarray*} TF \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} P(B=T)=0.001 \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren und die Zeile $\begin{eqnarray*} FF \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(B=F)=0.999 \end{eqnarray*}$ . Danach kann man die beiden Zeilen addieren und hat dann die Wahrscheinlichkeiten, dass Alarm ausgelöst/nicht ausgelöst wird unter der Bedingung, dass kein Erdbeben stattgefunden hat. Mit diesen beiden Wahrscheinlichkeiten geht man in die Tabelle $\begin{eqnarray*} P(M|A) \end{eqnarray*}$ . Wurde Alarm ausgelöst, ruft Mary mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 0.7 \end{eqnarray*}$ an, falls nicht mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 0.01 \end{eqnarray*}$ .

21.09.2022, 15:44

gutefrage12

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RE: Bayessche Statistik
Vielen Dank schonmal für die Antwort.

Könntest du vielleicht noch erklären, warum du so vorgehst, wie du vorgehst? Ich verstehe schon, warum man nur die TF und FF Zeile betrachtet, aber warum werden diese W´keiten noch mit P(B) und P(~B) multipliziert? Meinst du mit Zeile wirklich beide W´keiten mit P(B) und P(~B) multiplizieren? Welche beiden W´keiten werden überhaupt addiert? Und was meinst du mit wieder "in die Tabelle P(M/A) gehen"?

Ich weiß auch nicht was jetzt die Endlösung wäre. Wie du siehst habe ich noch einige Fragen. Vielen Dank schonmal im Voraus!

VG

21.09.2022, 16:38

Huggy

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RE: Bayessche Statistik

Zitat:

Original von gutefrage12
Ich verstehe schon, warum man nur die TF und FF Zeile betrachtet, aber warum werden diese W´keiten noch mit P(B) und P(~B) multipliziert?

Das ist doch die Bedeutung der beiden Zeilen. Wäre unklar, ob ein Erdbeben stattgefunden hat, müsste man auch mit $\begin{eqnarray*} P(E=F) \end{eqnarray*}$ multiplizieren. Da angenommen wird, dass kein Erdbeben stattgefunden hat, ist der Faktor aber $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Damit ergibt sich für die beiden Zeilen

$\begin{eqnarray*} TF=0.001 (0.94, 0.06)=(0.00094, 0.00006) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} FF=0.999(0.001,0.999)=(0.000999, 0.998001) \end{eqnarray*}$

Für die Summe ergibt sich

$\begin{eqnarray*} TF+FF=(0.00094, 0.00006)+(0.000999, 0.998001)=(0.001939, 0.998061) \end{eqnarray*}$

Also formal

$\begin{eqnarray*} P(A=T|\overline E)=0.001939 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A=F|\overline E)=0.998061 \end{eqnarray*}$

In Worten sind das die Wahrscheinlichkeiten, dass Alarm ausgelöst/nicht ausgelöst wird unter der Bedingung, dass kein Erdbeben stattgefunden hat.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Mary anruft unter der Bedingung, dass kein Erdbeben stattgefunden hat, ergibt sich nun zu

$\begin{eqnarray*} P(M)=0.7*0.001939+0.01*0.998061=0.0113379 \end{eqnarray*}$

Edit: Kopierfehler bei Zahlen korrigiert.

21.09.2022, 17:49

gutefrage12

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RE: Bayessche Statistik
Bzgl. der Bedeutung:

Was ich daran nach wie vor nicht verstehe ist, wir haben ja bei P(A/B,E) doch schon gegeben, dass B eingetreten ist. Warum muss man dann nochmal mit P(B) multiplizieren?.

Bei TF+FF=(0.00094,0.00006)+(0.001939,0.998061)=(0.001939,0.998061)

addierst du die Zahlen doch aber nicht oder? Viel mehr wählst du hier eher das Maximum aus der jeweiligen Zeile?

Was mich an dem letzten Rechenschritt ebenfalls noch wundert ist, dass du lediglich P(M)m ausrechnest. Müsste es nicht P(M/~E) lauten?

Tut mir leid für die vielen Fragen!

21.09.2022, 18:11

Huggy

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RE: Bayessche Statistik

Zitat:

Original von gutefrage12
Was ich daran nach wie vor nicht verstehe ist, wir haben ja bei P(A/B,E) doch schon gegeben, dass B eingetreten ist. Warum muss man dann nochmal mit P(B) multiplizieren?.

Da stehen in der Tabelle die bedingten Wahrscheinlichkeiten. Um die unbedingten Wahrscheinlichkeiten zu bekommen, ist mit den Wahrscheinlichkeien für das Eintreten der Bedingungen zu multiplizieren.

Zitat:

Bei TF+FF=(0.00094,0.00006)+(0.001939,0.998061)=(0.001939,0.998061)

addierst du die Zahlen doch aber nicht oder? Viel mehr wählst du hier eher das Maximum aus der jeweiligen Zeile?

Da ist mir beim Kopieren der Zahlen ein Fehler passiert. Ich habe das oben korrigierrt.

Zitat:

Was mich an dem letzten Rechenschritt ebenfalls noch wundert ist, dass du lediglich P(M)m ausrechnest. Müsste es nicht P(M/~E) lauten?

Ja. Ich hatte die Bedingung, dass kein Erdbeben eingetreten ist, nur in der Textzeile davor genannt. Und diese Bedingung wurde bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Alarms berücksichtigt.

21.09.2022, 19:12

gutefrage12

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RE: Bayessche Statistik
Alles klar, vielen Dank!

Nur aus Neugier: Warum wäre es in diesem Fall nicht richtig mit

P(M/~E)= P(M ^ ~E) / P(~E) weiterzuarbeiten? Das wäre ja die eigentliche Bayes Formel die man immer nutzt.

VG

21.09.2022, 20:17

Huggy

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RE: Bayessche Statistik
Das kannst du machen. Nur bedeutet ja die Bedingung, dass kein Erdbeben eingetreten ist, $\begin{eqnarray*} P(\sim E)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(M \cap \sim E)=P(M) \end{eqnarray*}$ .

21.09.2022, 21:10

gutefrage12

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RE: Bayessche Statistik
Wenn das der Fall ist wäre es dann nicht einfacher gewesen einfach

P(M/~E)=P(M) / P(~E) auszurechnen?

Falls ja, könnte man das P(M) dann so berechnen wie ich es in meinem Anfangspost beschrieben habe?

22.09.2022, 08:00

Huggy

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RE: Bayessche Statistik

Zitat:

Original von gutefrage12Falls ja, könnte man das P(M) dann so berechnen wie ich es in meinem Anfangspost beschrieben habe?

Mir ist nicht klar, was genau dir vorschwebt. Es gibt ja keine direkte Verknüpfung zwischen Erdbeben und dem Anruf von Mary. Die Verbindung entsteht indirekt über den Alarm. Dein Ansatz

Zitat:

Das P(M) würde ich wie folgt ausrechnen:

P(M)= P(M/A)*P(A)+P(M/A nicht)*P(A nicht)

ist schon in Ordnung, nur muss da anstatt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sim A \end{eqnarray*}$ überall $\begin{eqnarray*} A|\sim E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sim A|\sim E \end{eqnarray*}$ stehen. Genau das habe ich bei meiner Rechnung gemacht, wobei der erste Schritt die Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(A|\sim E) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(\sim A|\sim E) \end{eqnarray*}$ aus der Tabelle $\begin{eqnarray*} P(A|B,E) \end{eqnarray*}$ war.

22.09.2022, 17:05

gutefrage12

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RE: Bayessche Statistik
Ah verstehe, vielen Dank dafür!

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