Randdichte bestimmen

21.09.2022, 19:33	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Randdichte bestimmen HalliHallo Ich hab noch eine Dichte-Aufgabe, bei der ich mir unsicher bin , und zwar: X,Y Zufallsvariablen auf WSK-Raum mit Dichtefunktion: $\begin{eqnarray} f(i,j):=\frac{(\frac{1}{5})^{i+j}}{j!\cdot i} \cdot \frac{e^{-\frac{1}{5} }}{-ln(\frac{4}{5} )} \end{eqnarray}$ Für welche c ist $\begin{eqnarray} f^X(i)=\frac{c}{i\cdot 5^i} \end{eqnarray}$ Randdichte von X? Meine Idee: Einsetzen? Also mein Beweis sieht so aus: $\begin{eqnarray} f^X(i)=\sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{(\frac{1}{5})^{i+j}}{j!\cdot i} \cdot \frac{e^{-\frac{1}{5} }}{-ln(\frac{4}{5} )}=\frac{e^{-\frac{1}{5} }}{ -ln(\frac{4}{5} )} \cdot\sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{(\frac{1}{5})^{i}\cdot (\frac{1}{5})^{j}}{j!\cdot i} =\frac{e^{-\frac{1}{5} }\cdot (\frac{1}{5})^{i} }{ -ln(\frac{4}{5} )\cdot i} \cdot\sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{(\frac{1}{5})^{j}}{j!}<br /> \end{eqnarray}$ Der Rechte Faktor ist hierbei die Exponentialreihe, deshalb lässt sich das ganze vereinfach zu: $\begin{eqnarray} \frac{(\frac{1}{5})^{i} }{ -ln(\frac{4}{5} )\cdot i} <br /> \end{eqnarray}$ und somit ist unser $\begin{eqnarray} c=-\frac{1}{ln(\frac{4}{5})} \end{eqnarray}$ , richtig?
21.09.2022, 20:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist richtig. Wobei der Ästhet in mir das eher als $\begin{eqnarray} c = \frac{1}{\ln\left(\frac{5}{4}\right)} \end{eqnarray}$ schreiben würde. P.S.: Für die andere Randdichte beachte man die Taylorreihe $\begin{eqnarray} \ln(1-x) = -\sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^i}{i} \end{eqnarray}$ , gültig für alle $\begin{eqnarray} -1\leq x<1 \end{eqnarray}$ .
21.09.2022, 20:09	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar ! und Lieben Dank

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