Kardinalzahlen und ihre Arithmetik - Seite 2

06.10.2022, 14:47

Finn_

Die 2. Aussage stimmt nicht.

Zu einer nichtleeren Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ erfüllt kein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} f\colon A\to\emptyset. \end{eqnarray*}$ Dagegen ist die Gleichung $\begin{eqnarray*} f=\emptyset \end{eqnarray*}$ genau dann erfüllt, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die leere Abbildung ist.

06.10.2022, 17:20

Pippen

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Aber bezeichnet hier nicht $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Menge der geordneten Paare, also den Graph der Funktion? Dann müsste auch bei 2. stehen: $\begin{eqnarray*} f= \emptyset \end{eqnarray*}$ . Bzw. was ist dann bei dir die Menge $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei 2. - nicht definiert?

06.10.2022, 18:53

Finn_

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Ja, der Graph ist gemeint. Dieser Graph muss aber bestimmte Eigenschaften erfüllen. Die Linksvollständigkeit verlangt

$\begin{eqnarray*} \forall x\in A\colon \exists y\in\emptyset\colon (x,y)\in f. \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} y\in\emptyset \end{eqnarray*}$ allerdings kontradiktorisch, womit erst recht die Existenzaussage und daher die Gesamtaussage kontradiktorisch ist. Das heißt, kein Graph stellt eine Funktion dar, auch nicht der leere Graph $\begin{eqnarray*} f=\emptyset, \end{eqnarray*}$ der keine Paare enthält.

06.10.2022, 20:01

Pippen

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Ich habe damit nochmal meine Notiz zur leeren Funktion überarbeitet. Stimmt sie jetzt?

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Und wenn das richtig ist, dann sollte auch die hier gegebene Begründung für die Eegebnisse stimmen:

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Kannst du oder elvis das kurz absegnen, damit ich weiß, ob ich es verstanden habe.

06.10.2022, 20:40

Elvis

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Das wird nicht besser. Du schreibst nur teilweise falsche Behauptungen auf. Es fehlen Definitionen und Beweise. Wenn ich beides zusammenfasse ist $\begin{eqnarray*} 0=0 ^0=1 \end{eqnarray*}$ . Das glaubst du doch nicht wirklich.

06.10.2022, 21:14

Finn_

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Die leere Funktion hat per Definition einen leeren Graphen. Ein Paar $\begin{eqnarray*} (\emptyset,b) \end{eqnarray*}$ ist per se nicht in ihr enthalten, denn dafür müsste die Signatur mindestens $\begin{eqnarray*} f\colon \{\emptyset\}\to B \end{eqnarray*}$ sein, die ja von $\begin{eqnarray*} f\colon\emptyset\to B \end{eqnarray*}$ zu unterscheiden ist.

Es entspricht der Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht die Menge $\begin{eqnarray*} \{0,1,\ldots,n\}, \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \{0,1,\ldots,n-1\}, \end{eqnarray*}$ wie Elvis dir bereits vermittelt hat.

06.10.2022, 22:28

Pippen

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Den Hinweis mit n-1 habe ich jetzt erst verstanden. Ich war zu tief erschüttert, weil ich feststellen musste, dass ich Grundlagen der Funktion nicht verstanden habe. Deshalb hier nochmal zusätzlich meine Notizen zur leeren Fkt. mit der Bitte um sachdienliche Urteile. Wenn ich Finn richtig verstehe, dann hat er nichts auszusetzen; seinen Hinweis habe ich ja genauso verarbeitet.

Was die Beispiele der Kardinalzahlarithmetik anbelangt, sollten meine Notizen langsam zur Richtigkeit streben, nur die beiden Extremfälle und die dortigen Begründungen scheinen mir noch angreifbar.

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07.10.2022, 03:27

Elvis

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Du gehst überhaupt nicht auf meine Fragen und Hinweise ein, das solltest du aber irgendwann einmal tun, sonst bleibt alles unklar und falsch.
Ist $\begin{eqnarray*} 0^n=0^0 =0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n^0=0^0=1 \end{eqnarray*}$ ?
Warum ist $\begin{eqnarray*} 1+\aleph_0 =\aleph_0 =\aleph_0+1 \end{eqnarray*}$ ?
Warum ist $\begin{eqnarray*} 3+2=5,3\cdot 2=6,3^2 =9 \end{eqnarray*}$ ? Sieht man das einfach so ?

Zusatzfrage : $\begin{eqnarray*} 6^{6^6}=|\{f|f:\{1,...,6^6\}\to\{esel,hund,katze,hahn,maus,floh\}\}|=? \end{eqnarray*}$ Sieht man das einfach so ?

07.10.2022, 19:34

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Ist $\begin{eqnarray*} 0^n=0^0 =0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n^0=0^0=1 \end{eqnarray*}$ ?

Hoch 0 ist immer 1, also 0^0 = 1, aber 0^2 = 0.

Zitat:

Warum ist $\begin{eqnarray*} 1+\aleph_0 =\aleph_0 =\aleph_0+1 \end{eqnarray*}$ ?

Weil Aleph 0 für alle abzählbar unendlichen Mengen gilt und Aleph 0 + 1 bleibt abzählbar unendlich. Deshalb auch 0 + Aleph 0 = Aleph 0 = 1 + Aleph 0.

Zitat:

Warum ist $\begin{eqnarray*} 3+2=5,3\cdot 2=6,3^2 =9 \end{eqnarray*}$ ? Sieht man das einfach so ?

Naja schon. Bei 3^2 habe ich mal alle Funktionen notiert, aber bei diesen Gleichungen geht es mir eher darum nochmal darzustellen, wie der Formalismus aussieht.

Was hälst du von meiner Darstellung von n^0 = 1 und 0^n = 0, insbsondere die Begründung - trifft es das?

07.10.2022, 20:11

Elvis

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Überzeugt mich nicht.
Du hast vergessen zu definieren, was n ist. Richtig wäre zu sagen, dass natürliche Zahlen die Mengen $\begin{eqnarray*} \mathbb N=\{1, 2,3,...\}, \mathbb N_0=\{0,1,2,...\} \end{eqnarray*}$ sind. Dann kann man die Behauptungen erst aufstellen, nämlich
$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N_0 : n^0=1, \forall n\in \mathbb N : 0^n=1 \end{eqnarray*}$ . Du hast doch schon von Prädikatenlogik gehört, da sind Quantoren extrem wichtig um sagen zu können, worüber man spricht.
Bei allen Rechenarten von Kardinalzahlen, sowohl bei unendlichen als auch bei den einfachen Beispielen mit endlichen Zahlen benutzt du nicht das, was du aus der Mengenlehre lernen kannst sondern berufst dich (anscheinend oder scheinbar) auf externes Allgemeinwissen. Die sinnvolle Nutzung von Definitionen der Rechenarten durch Mengen und Vergleiche von Kardinalzahlen durch Funktionen taucht in deinen Beispielen nirgends auf. Die als Quasi-Definition eingestreuten Mengen sind nur unnötiger Ballast. Du musst die drei Mengen in den letzten Beispielen wirklich hinschreiben, damit die Beispiele sinnvoll werden.
Für $\begin{eqnarray*} 1+\aleph_0 =\aleph_0 \end{eqnarray*}$ muss man eine bijektive Funktion angeben. Nicht nur Behauptungen aufstellen sondern auch Beweise führen. Mit einer bijektiven Funktion von {0,...,n-1} auf {1,..., n} hätte dir auch schon vor ein paar Tagen klar sein können, dass diese Mengen nicht gleichmächtig zu {0,...,n} sind.

08.10.2022, 15:44

Pippen

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Wir hatten ja festgestellt, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f: A \rightarrow \emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ nicht existiert, d.h. präziser: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist gar keine Menge geordneter Paare hinsichtlich der vorgenannten Abbildungsvorschrift. Wie schreibt man das eigentlich formal auf? $\begin{eqnarray*} f = \emptyset \end{eqnarray*}$ ist ja schon reserviert für die leere Funktion. $\begin{eqnarray*} \neg \exists f: A \rightarrow \emptyset \land A \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ?

08.10.2022, 17:43

Elvis

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Die Worte "Eine Funktion existiert nicht für nichtleere A." umstellen zu "Für nichtleere A existiert keine Funktion.", und schon steht es da:
$\begin{eqnarray*} A\ne \emptyset\Rightarrow \lnot(\exists f:A\to \emptyset) \end{eqnarray*}$

Statt fruchtloser Formalitäten bringt die ernsthafte Beschäftigung mit Mathematik mehr geistigen Gewinn.

Der folgende Satz ist kürzer und genau so formal und zum obigen Satz äquivalent :
$\begin{eqnarray*} |A|>0 \Rightarrow 0^{|A|}=0 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} 0 ^0 =1 \end{eqnarray*}$ kann man diese (formalen) Implikationen auch als (formale) Aequivalenzen schreiben.

09.10.2022, 15:00

Pippen

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Wäre meine Formel auch möglich, d.h. zu deiner äquivalent?

09.10.2022, 15:27

Finn_

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Sieht wohl so aus. In klassischer Logik findet sich allgemein die Umformung

$\begin{eqnarray*} \neg\exists x\colon (A\land P(x))\equiv \neg(A\land\exists x\colon P(x))\equiv\neg A\lor\neg\exists x\colon P(x)\equiv A\Rightarrow\neg\exists x\colon P(x). \end{eqnarray*}$

13.10.2022, 04:22

Pippen

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Ich suche einen Beweis für die ganz allgmeine Aussage, dass für jede Menge A gilt: |P(A)| = 2^A. Deiser schweigt dazu, sonst finde ich nur Beweise für den Fall, dass A n-viele Elemente hat, dann wird per Induktion bewiesen. Meine Aussage muss wahrscheinlich durch Aufzeigen einer Bijektion zwischen P(A) und 2^A (Menge der Funktionsmengen von A nach {0,1}) bewiesen werden. Kennt jmd. den Beweis oder kann auf eine Stelle verlinken?

13.10.2022, 04:47

Leopold

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Zitat:

Original von Pippen
dass für jede Menge A gilt: |P(A)| = 2^A.

Die Striche links sollen wohl für die Mächtigkeit stehen. Links steht damit eine Kardinalzahl. Rechts steht aber eine Menge. Du solltest dir zunächst klar machen, was mit dieser Menge überhaupt gemeint ist. So jedenfalls kann das nicht stehenbleiben. Und mal schnell Striche um das $\begin{align*} A \end{align*}$ rechts zu setzen, macht die Sache nicht besser, wenn man den Begriff nicht verstanden hat.

Der Hintergrund ist eine Art Ja-Nein-Methode: Bilde $\begin{align*} X \subseteq A \end{align*}$ auf seine Indikatorfunktion ab. In der Schreibweise als Familie mit Indizes $\begin{align*} a \in A \end{align*}$ sieht das so aus:

$\begin{align*} X \mapsto \left( \iota_a \right)_{a \in A} \ \ \text{mit} \ \ \iota_a = \begin{cases} 1, & a \in X \\ 0, & a \not \in X \end{cases} \end{align*}$

Im Fall der endlichen Mächtigkeit $\begin{align*} n \end{align*}$ für $\begin{align*} A \end{align*}$ sind das gerade die $\begin{align*} n \end{align*}$ -Tupel aus Nullen und Einsen, nach elementarer Kombinatorik $\begin{align*} 2^n \end{align*}$ an der Zahl.

13.10.2022, 12:46

Pippen

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Zunächst mal die richtige Formulierung des Theorems:

|P(A)| = | 2^|A| |. So?

Dann zum Beweis und soviel meine ich schon zu wissen: Wir müssen eine Bijektion herstellen zwischen der Menge aller Teilmengen von A (Potenzmenge) und der Menge aller Funktionen f: A -> {0, 1}. Wir müssen also zB in der Lage sein, eine Bijektion herzustellen zwischen {{}, {0}, {1}, {0,1}} und {{(0,0), (1,1)}, {(0,0), (1,0)}, {(0,1), (1,1)}, {(0,1), 1,0)}} falls A = {0,1}. Das klappt im Beispiel, weil dort beide Mengen 4 Elemente haben, aber man muss es eben allgemein zeigen. Der Beweis findet sich aber nirgends, ich finde nur den Beweis für endliche Mengen A.

13.10.2022, 14:51

Elvis

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So nicht, was ist denn der Betrag eines Exponenten aus zwei Kardinalzahlen?
Den Beweis hat Leopold für endliche Kardinalzahlen bereits beschrieben. Deiser hat den Beweis durch die Arithmetik der Kardinalzahlen verallgemeinert. Du musst nur noch beide verstehen.

13.10.2022, 15:45

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
So nicht, was ist denn der Betrag eines Exponenten aus zwei Kardinalzahlen?

Wieder eine Kardinalzahl, also muss es wohl heißen: |P(A)| = 2^|A|.

Zitat:

Den Beweis hat Leopold für endliche Kardinalzahlen bereits beschrieben. Deiser hat den Beweis durch die Arithmetik der Kardinalzahlen verallgemeinert. Du musst nur noch beide verstehen.

Deiser schreibt einfach nur o.g. Theorem hin: https://www.aleph1.info/?call=Puc&permal...nlehre1_1_12_Z3 Er muss ja wie gesagt die Bijektivität der betreffenden Mengen zeigen.

13.10.2022, 16:18

Elvis

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Der Betrag bzw. die Kardinalzahl einer Kardinalzahl ist nicht definiert. Im dritten Versuch stimmt jetzt schon mal deine Behauptung. Links und rechts stehen Kardinalzahlen.
Bevor (oder nachdem) du Leopolds Beweis verwenden kannst, musst du wissen, zwischen welchen Mengen du eine bijektive Funktion konstruieren willst. Und vor allem musst du wissen, warum du sie konstruieren willst.
Was dir diese Funktion nützt, kannst du bei Deiser nachlesen. Deiser definiert doch unübersehbar und deutlich, was $\begin{eqnarray*} 2^{|A|} \end{eqnarray*}$ ist.
(Wie ich immer sage: Definitionen zusammensuchen, Behauptung aufstellen, Beweis führen, Beweis beenden. Nicht rumjammern und andere verantwortlich machen sondern selbst denken und machen. Du bist schon auf dem richtigen Weg, du musst ihn nur noch gehen.)

13.10.2022, 16:29

Finn_

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Mach es so, wie Leopold geschrieben hat. Für eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} T\subseteq A \end{eqnarray*}$ definiert man die Indikatorfunktion

$\begin{eqnarray*} 1_T\colon A\to\{0,1\},\quad 1_T(a):=[a\in T] = \begin{cases}1 & \text{wenn}\;a\in T,\\ 0 & \text{sonst.}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Es verhält sich nun dergestalt, dass

$\begin{eqnarray*} \varphi\colon\mathcal P(A)\to\operatorname{Abb}(A,\{0,1\}),\quad\varphi(T):=1_T \end{eqnarray*}$

eine kanonische Bijektion definiert. Die Injektivität zu zeigen, ist relativ straightforward. Die Surjektivität zu zeigen, ist ein wenig schwieriger, weil es da ja zu einer Existenzaussage kommt. Bei dieser bildet man für den Zeugen die »Einsfaser«, gemeint ist das Urbild von eins unter einer aus dem Zusammenhang ersichtlichen Abbildung.

16.10.2022, 22:01

Pippen

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So, jetzt habe ich wieder ein Kapitel von Deiser abgeschlossen. Knackpunkt ist natürlich meine Interpretation des Beweises der Gleichheit der Potenzmenge zu ihrer Kardinalzahl, denn das Andere ist recht stupide abgeschrieben (obwohl mich der eine oder andere Schusselfehler da auch nicht wundern würde). Ich bitte also um Durchsicht und Hinweise, ob man das so aufschreiben kann/darf.

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17.10.2022, 01:03

Finn_

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Mir erscheint diese Argumentation zirkulär, weil »codiert genau und nur« eigentlich dasselbe sagt wie » $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist bijektiv«.

Zunächst wäre festzustellen, dass für je zwei Aussagen $\begin{eqnarray*} \mathsf A,\mathsf B \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} [\mathsf A]=[\mathsf B] \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \mathsf A\Leftrightarrow\mathsf B \end{eqnarray*}$ äquivalent ist. Sieht man per Wahrheitstafel unschwer ein. Die eckigen Klammern sollen hierbei die Fallunterscheidung

$\begin{eqnarray*} [\mathsf A] := \begin{cases}1 & \text{wenn}\;\mathsf A,\\ 0 &\text{wenn}\;\neg\mathsf A,\end{cases} \end{eqnarray*}$

abkürzen. Seien nun $\begin{eqnarray*} A,B\in\mathcal P(M) \end{eqnarray*}$ Mengen. Für die Injektivität gilt es,

$\begin{eqnarray*} F(A)=F(B)\implies A=B \end{eqnarray*}$

zu zeigen. Wir rechnen nach. Mit $\begin{eqnarray*} F(A):=1_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(B):=1_B \end{eqnarray*}$ erhält man die Umformung

$\begin{eqnarray*} F(A)=F(B)\iff 1_A=1_B\iff(\forall x\colon 1_A(x)=1_B(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff (\forall x\colon [x\in A]=[x\in B])\iff (\forall x\colon x\in A\Leftrightarrow x\in B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff A=B. \end{eqnarray*}$

Für die Surjektivität ist $\begin{eqnarray*} {}^M\{0,1\}\subseteq F(\mathcal P(M)) \end{eqnarray*}$ zu zeigen, also

$\begin{eqnarray*} \forall f\in {}^M\{0,1\}\colon\exists B\in\mathcal P(M)\colon f=F(B). \end{eqnarray*}$

Wir wählen $\begin{eqnarray*} B:=f^{-1}(\{1\}), \end{eqnarray*}$ um die Existenzaussage zu erfüllen. Zu zeigen verbleibt die Gleichung $\begin{eqnarray*} f=F(B):=1_B. \end{eqnarray*}$ Wir rechnen nach. Zunächst gilt

$\begin{eqnarray*} B = f^{-1}(\{1\}) = \{x\in M\mid f(x)\in\{1\}\} = \{x\in M\mid f(x)=1\}. \end{eqnarray*}$

Und daher

$\begin{eqnarray*} 1_B(x) = [x\in B] = [f(x) = 1] = f(x). \end{eqnarray*}$

Zur Klärung der letzten Gleichung genügt es, die winzige Wertetabelle zu $\begin{eqnarray*} [y=1]=y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\in\{0,1\} \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Also haben wir $\begin{eqnarray*} \forall x\colon 1_B(x)=f(x), \end{eqnarray*}$ womit $\begin{eqnarray*} 1_B=f \end{eqnarray*}$ gilt.

18.10.2022, 18:31

Pippen

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Zitat:

Original von Finn_
Mir erscheint diese Argumentation zirkulär, weil »codiert genau und nur« eigentlich dasselbe sagt wie » $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist bijektiv«.

Ich meine damit erstmal nur, dass die Funktion fB genau die Teilmenge B aus M codiert, d.h. alle Elemente von B bekommen den Funktionswert 1. Daraus folgt dann - weil B ja eine beliebige Teilmenge von M sei - dass alle Funktionen fB zusammen alle Teilmengen von M und damit Elemente von P(M) codieren. Und genau deshalb kann man dann die Bijektion zwischen P(M) und M{0,1} (mit fB als Vorschrift) herstellen.

Es fällt mir leider so schwer, deine symbolischen Rechnungen nachzuvollziehen, dass ich es doch prosaischer brauche. Aber ich entnehme deinem Beitrag, dass ich den Beweis recht gut nacherzähle, auch wenn das natürlich den Beweis nicht ersetzt oder präzise nachbildet - dafür braucht man die genauere formale Sprache - aber ich will es später einmal verstehen und nicht nur viele Formeln aufschreiben und in 2 Jahren verstehe ich nix, wenn ich in meine Notizen schaue. Das ist halt eine Gratwanderung.

p.s. Ich habe den Beweis auch mal auf stackexchange in Englisch und etwas modifiziert gestellt: https://math.stackexchange.com/questions...9579559_4553110

Gefällt dir die engl. Version besser?

19.10.2022, 07:20

Finn_

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Als Alternative bietet sich an, die Umkehrabbildung von $\begin{eqnarray*} F(A) := 1_A \end{eqnarray*}$ zu konstruieren, das ist $\begin{eqnarray*} F^{-1}(f) := f^{-1}(\{1\}). \end{eqnarray*}$ Nun gilt zu zeigen, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} F^{-1} \end{eqnarray*}$ sowohl um eine Linksinverse als auch um eine Rechtsinverse von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ handelt. Die Existenz einer Linksinverse bedingt die Injektivität, die Existenz einer Rechtsinverse die Surjektivität. Allerdings kommt man hierbei im Wesentlichen zu gleichartigem Formelsalat. Es findet sich

$\begin{eqnarray*} (F^{-1}\circ F)(A) = 1_A^{-1}(\{1\}) = \{x\in M\mid 1_A(x) = 1\} = \{x\in M\mid x\in A\} = A \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (F\circ F^{-1})(f) = F(f^{-1}(\{1\})) = F(\{x\in M\mid f(x) = 1\}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (u\mapsto [u\in\{x\in M\mid f(x) = 1\}]) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (u\mapsto [f(u) = 1]) = (u\mapsto f(u)) = f. \end{eqnarray*}$

19.10.2022, 11:14

Pippen

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So jetzt aber:

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Ich denke, die Frage ist nicht mehr, ob man zB in einer Klausur oder Übung damit durchkäme, sondern nur noch, ob man sogar volle Punktzahl erhielte. Was meint ihr? Müsste für die volle Punktzahl noch mehr Formelkram rein? (Ich will nur bei der Gelegenheit ein Gefühl dafür bekommen, wie weit ich noch vom Profi-Mathematiker entfernt bin.)

19.10.2022, 12:39

Elvis

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Nicht ausreichend, leider durchgefallen.
Profimathematiker arbeiten für Geld und leben davon. Dafür haben sie einen Arbeitgeber, dem ihre Arbeit viel Geld wert ist.
Alternativ arbeiten Profimathematiker für weniger Geld an der Universität oder Hochschule.
Wenn du wissen willst, wie professionelle Veröffentlichungen aussehen, sieh dir ein Mathematik - Paper von heute in arxiv.org an.
Um ein Profi zu werden genügt es jedenfalls nicht, halbverstande allgemein bekannte alte Tatsachen aus Lehrbüchern abzuschreiben.

19.10.2022, 14:55

Pippen

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Aber mein Beweis in der letzten Version sollte auch in Übungen oder Klausuren in Ordnung gehen. Meinst du nicht? Man kann noch mehr formalisieren, aber das ist kein Muss, auch im Mathestudium kann man Beweise mit Worten statt Symbolen aufschreiben, solange sie präzise sind.

19.10.2022, 16:02

Elvis

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"..., denen in der Funktionsmenge g der Wert 1 zugewiesen wurde, ..." ist nicht präzise. Was ist hier eine Funktionsmenge ? Wer weist wem was zu ? Abgesehen von kleinen sprachlichen Unsauberkeiten wie "angenommen" statt "sei" und der nicht als solcher benannten DEFINITION von X in Abhängigkeit von g im Beweis der Surjektivität von F ist der Beweis ansonsten okay. Also ist F bijektiv.

WARUM ist $\begin{eqnarray*} |P(M)|=2^{|M|} \end{eqnarray*}$ ??? Das war die Behauptung. Warum ist der Beweis ein Beweis für diese Behauptung ? Ich sehe eine Bijektion F. Wie hängt das mit Kardinalzahlen zusammen ? Verlockende Aussicht: Wenn du das (formal oder sprachlich) präzise formulieren kannst, ändere ich die Note "nicht ausreichend" zu "noch gut".

19.10.2022, 18:53

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
"..., denen in der Funktionsmenge g der Wert 1 zugewiesen wurde, ..." ist nicht präzise. Was ist hier eine Funktionsmenge ?

Eine Funktionsmenge ist zB 1X = {(a,0), (b,1)}, die genau und nur X = {b} codiert, wenn zB M = {a, b}. Genauso ist g eine solche Funktionsmenge, die genau den Elementen vom vorab definierten X eine 1 zuweist, allen anderen eine 0, weshalb auch g = 1X und 1X wiederum ist gleich F(X), was dann die Surjektivität beweist. Wichtiger als rigorose Präzision ist mir hier Anschaulichkeit und Verständlichkeit, sonst schaue ich in ein paar Monaten bei der fälligen Wdh. in die Röhre.

Zitat:

WARUM ist $\begin{eqnarray*} |P(M)|=2^{|M|} \end{eqnarray*}$

Weil es eine Funktion f: P(M) -> 2^M gibt, die bijektiv ist. Dafür schreibt man nach definitorischer Vereinbarung dann einfach die Gleichheit der Mächtigkeiten und statt der Mächtigkeifen kann man wiederum die (dafür vereinbarten) Kardinalzahlen hinschreiben. Habe ich ja in der letzten Zeile fein säuberlich hingeschrieben.

19.10.2022, 20:15

Elvis

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Eine Funktionsmenge ist der falsche Begriff, wenn du den Graphen meinst, musst du Graph sagen. Eine Funktion codiert nicht, eine Funktion ist eine Menge. Zuweisen ist der falsche Begriff, besonders deutlich wird die Falschheit darin, dass du selbst ihn nicht verstehst und Definitionsbereich mit Wertebereich verwechselst. Im Beweis beginnst du mit g und definierst dazu X, weil du das nicht klar sagst, hast du es in deinem letzten Beitrag schon wieder vergessen. Das ist nicht unpräzise, das ist schwammig.
In der letzten Zeile schreibst du drei Gleichungen, dagegen ist nichts einzuwenden, aber du gibst keine Begründung dafür an. Der Beweis beweist das erste Gleichheitszeichen, wie genau geht es dann weiter? Du musst Formeln und Text in einem ausgewogenen Verhältnis so benutzen, dass beides fehlerfrei ist und sich gegenseitig ergänzt. Das macht jeder Mathematiker so, und Deiser habe ich dir auch deshalb empfohlen, weil er es besonders vorbildlich macht.

20.10.2022, 23:59

Pippen

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Ok, ich schreibe statt Funktionsmenge g „Funktionsgraph g“, das leuchtet mir ein, denn obwohl mir mein Begriff besser gefällt bringt es nichts, wenn ich Begriffe lerne, die andere nicht benutzen/verstehen.

Die Gleichung am Ende beweist sich durch den Beweis der Bijektion und die vorher gegebene Definition von Kardinalzahlen aus Mächtigkeiten. Das schreibe ich da nicht extra hin, denn es steht vorher in meinen Notizen.

Zitat:

Original von Elvis Zuweisen ist der falsche Begriff, besonders deutlich wird die Falschheit darin, dass du selbst ihn nicht verstehst und Definitionsbereich mit Wertebereich verwechselst.

Wo/Wie genau verwechsle ich Definitions- und Wertebereich? Der Begriff des Zuweisen referiert für mich immer auf den Wertebereich bzw. den Graphen.

Gut, dann weiter mit Deiser, ich melde mich. Wink

21.10.2022, 05:26

Elvis

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Gleichungen beweisen sich nicht selbst durch Definitionen, du musst sie beweisen, sonst bleibt dein ganzer Beweis lückenhaft, unvollständig und damit wertlos. Für das erste Gleichheitszeichen hast du die Bijektion konstruiert und als bijektiv beweisen können. Der Rest fehlt noch.
Wenn es, wie du einmal gesagt hast (am 19.10., 20:53), eine bijektive Funktion $\begin{eqnarray*} f:P(M) \to 2^M \end{eqnarray*}$ gaebe, dann wärst du wirklich fast fertig. Das geht aber nicht, weil als Definitionsbereich eine Menge und als Wertebereich eine Zahl potenziert mit einer Menge dasteht. So ein Hybrid ist nicht definiert.

21.10.2022, 11:53

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Wenn es, wie du einmal gesagt hast (am 19.10., 20:53), eine bijektive Funktion $\begin{eqnarray*} f:P(M) \to 2^M \end{eqnarray*}$ gaebe, dann wärst du wirklich fast fertig. Das geht aber nicht, weil als Definitionsbereich eine Menge und als Wertebereich eine Zahl potenziert mit einer Menge dasteht. So ein Hybrid ist nicht definiert.

2^M ist die Abkürzung für eine Menge, nämlich die Menge der Funktionen von M nach {0,1}. Und weil es zwischen beiden eine Bijektion gibt, so sind die Mächtigkeiten gleich, weil das so definiert ist. Also |P(M)| = |2^M| und weil 2 bereits als Kardinalzahl gedeutet werden kann, so wird daraus 2^|M| bzw. 2^a, wenn man a als Kardinalzahl für |M| festlegt. Das habe ich alles schon vor dem Bijektionsbeweis geschrieben (auf S. 2 dieses Thread ist ein Screenshot), woraus sich erklärt, dass ich dann nur noch die Gleichheiten hinschreibe. Klar, in einem Beweis in einer Übung könnte ich das nicht so machen.

21.10.2022, 14:21

Elvis

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Nein, so ist das nicht. 2^M ist keine Menge sondern ein Unding. Da ist der Wunsch der Vater des Gedankens. Du möchtest, dass das Ergebnis irgendwie zustande kommt, aber noch immer fehlt dir ein Beweis. Jeder Mathematiker könnte dir den simplen Beweis aufschreiben, ich mache das aber nicht, weil du das dann wieder als triviale und überflüssige Formalität abtust und behauptest, du hättest es schon vorher gewusst.

22.10.2022, 16:26

Pippen

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Ich weiß nicht so recht, wo/warum du da Probleme siehst.

1. Ich beweise, dass des zwischen P(M) und M{0,1} eine bijektive Funktion gibt, so dass also |P(M)| = | M{0,1}| nach Definition.

2. Die Menge M{0,1} wird nun abgekürzt geschrieben: 2^M, so lese ich es immer wieder, also |P(M)| = |2^M|.

3. Indem man jetzt „2“ als Kardinalzahl interpretiert, kann man statt |2^M| auch schreiben 2^|M|, also |P(M)| = 2^|M| und für |M| kann man „a“ als Kardinalzahl definieren, so dass zu guter Letzt |P(M)| = 2^a.

Wo genau soll da ein Fehler sein?

22.10.2022, 18:02

Elvis

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Genau das ist das Problem. Du liest immer wieder $\begin{eqnarray*} |P(M)|=|2^M| \end{eqnarray*}$ . Deiser schreibt das aber nicht, und du kannst aus dem was du zur Verfügung hast nicht beweisen, dass $\begin{eqnarray*} |P(M)|=| M_{0,1}|=2^{|M|} \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn du Deiser mit Verstand liest, kannst du das beweisen. Wenn du es noch nicht kannst, musst du Deiser noch einmal lesen. Genau dazu sind Übungsaufgaben da, man soll damit überprüfen, ob man das Gelesene verstanden hat oder nicht. Du darfst nicht schummeln und nicht interpretieren, du musst beweisen, alles andere ist für die Katz.

Dein 1. Schritt ist in Ordnung. 2. und 3. sind es nicht.

22.10.2022, 19:06

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Du liest immer wieder $\begin{eqnarray*} |P(M)|=|2^M| \end{eqnarray*}$ .

2^M ist aber definiert als M{0,1}, also als Menge aller Funktionen einer Menge M in eine binäre Menge. Du zweifelst also lediglich diese Definition an, oder? Denn wenn du diese Definition akzeptierst, dann gilt sehr wohl: |P(M)| = | M{0,1}| = |2^M| = 2^|M| = 2^a (soweit a = |M|), oder?

22.10.2022, 19:40

Elvis

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Warum sollte das gelten? Wo ist 2^M definiert, wieso ist das eine Menge? Warum ist Ihre Mächtigkeit gleich 2^|M|? Das ist deine Erfindung und du willst das auch so. Mathematik ist nicht "wünsch dir was". Mathematik braucht Beweise. Das ist keiner.

Erst nachdem man es bewiesen hat darf man symbolisch P(M)=2^M schreiben, nicht vorher. Klar weiß jeder, dass |P(M)|=2^|M| gilt. Das ist aber kein Wissen a priori im Sinne von Kant, der wusste das eben nicht, erst Cantor wusste es a posteriori, nach dem Beweis.

22.10.2022, 23:34

Pippen

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M sei eine Menge. Dann ist definiert, dass

2^M = M{0,1} (so Deiser) = {0,1}^M (so andere) = {f | f: M -> {0,1}}.

Damit ist 2^M eine Menge. Das ist unstrittig in der mathematischen Welt, soweit ich das überblicke, wobei es halt im Detail verschiedene Symboliken gibt.

Damit sind P(M) und 2^M zwei Mengen und wir können beweisen, dass sie bijektiv verknüpfbar sind, wodurch |P(M)| = |2^M|. Man will dann weg von der Mächtigkeit, hin zur Kardinalzahl. Zunächst ist 2 bereits eine Kardinalzahl für die binäre Menge, also 2^|M| und für |M| definiert man einfach a als Kardinalzahl, so dass am Ende das kompakte 2^a steht, welches gleich |P(M)| ist, was auch Deiser so notiert. So erkläre ich mir das. Im engl. Wikipedia-Artikel wird diese Ansicht geteilt, bitte mal durchlesen unter „Properties“.

Das sind die Gründe, warum mE mein Beweis auch an dessen Schluss korrekt formuliert ist, d.h. so dass ein Uniprof. es in einer Klausur absegnen würde. Vielleicht können Leopold oder Finn mal ihre Meinung kundtun.

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