Kardinalzahlen und ihre Arithmetik - Seite 3

23.10.2022, 05:27

Elvis

Du erklärst nicht und beweist nicht. Die Mengen sind dir egal, deswegen benutzt du verschiedene Symbole nebeneinander und behauptest, sie seien gleich. Die Kardinalzahlen sind dir egal, deswegen benutzt du verschiedene Symbole nebeneinander und behauptest, sie seien gleich. Das ist nichts wert. Du kommst nicht weiter, weil du dich nicht festgelegt hast, z.B. auf die Bezeichnungen und Bedeutungen und Regeln von Deiser.

Gib zu, dass du nichts verstanden hast und den Beweis nicht führen kannst. Bitte um einen korrekten und vollständigen Beweis, dann werde ich dir in meiner unendlichen Großzügigkeit einen solchen Beweis schenken. Ich verstehe, dass ein Anfänger damit überfordert sein kann, aber ich akzeptiere nicht, dass ein überforderter Anfänger mit seinen Fehlern zufrieden ist. Mathematiker können von einander lernen, wenn sie wollen, das ist völlig normal, sie müssen es nur wollen.

Übrigens bist du schon ganz nah dran, du darfst es also auch gern noch einmal versuchen, den Beweis mit den Bezeichnungen und Methoden von Deiser zu führen. Wenn du es alleine schaffst, verneige ich mich vor deiner Beharrlichkeit und deinem Durchhaltevermögen.

23.10.2022, 06:05

Finn_

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Also ich kann Elvis' Beanstandung nur beipflichten. Der Gedankengang dazu verläuft folgendermaßen. Ja, man könnte 2 mit $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ identifizieren und $\begin{eqnarray*} 2^M \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathrm{Abb}(M,2) \end{eqnarray*}$ lesen, und später die Unterscheidung zwischen $\begin{eqnarray*} \mathcal P(M) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^M \end{eqnarray*}$ mit Absicht vergessen. Oder aber man definiert $\begin{eqnarray*} 2^M \end{eqnarray*}$ als alternative Schreibweise zu $\begin{eqnarray*} \mathcal P(M). \end{eqnarray*}$ Derlei schwammige Erwägungen sollten wir hier aber aus didaktischen Gründen unterbleiben lassen. Da wäre bereits halb Tür und Tor geöffnet für undurchsichtige Vermischungen von Kardinal- mit Ordinalzahlen. Für die erste unendliche Ordinalzahl $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ gilt nämlich $\begin{eqnarray*} 2^\omega = \omega. \end{eqnarray*}$ Die Arithmetik der Ordinalzahlen ist anders definiert als die der Kardinalzahlen. Die Ästhetik der Kurzschreibweisen bleibt zweitrangig, denn wir wollen wissenschaftlich arbeiten. Da will man so definieren, notieren und schließen, dass man nicht durcheinander kommt. Insofern verbleibt der Term $\begin{eqnarray*} 2^M \end{eqnarray*}$ bisweilen am besten undefiniert.

Wir sind zu der Feststellung

$\begin{eqnarray*} |\mathcal P(M)| = |\mathrm{Abb}(M,\{0,1\})| \end{eqnarray*}$

gekommen, und Deiser übrigens ebenfalls. Im Abschnitt $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und die Potenzmenge der natürlichen Zahlen im 9. Kapitel Mengen der Mächtigkeit der reellen Zahlen führt er in Kurzfassung aus:

Zitat:

Satz
Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge. Dann gilt $\begin{eqnarray*} |\mathcal P(M)| = |{}^M\{0,1\}|. \end{eqnarray*}$

Beweis
Wir definieren $\begin{eqnarray*} f\colon\mathcal P(M)\to {}^M\{0,1\} \end{eqnarray*}$ bijektiv durch $\begin{eqnarray*} f(A) = \mathrm{ind}_{A,M} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A\subseteq M. \end{eqnarray*}$ [q. e. d.]

Mit ind ist die Indikatorfunktion gemeint.

23.10.2022, 15:14

Pippen

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Also gut, da brauche ich Hilfe. Hier nochmal mein Beweis. Bis zum roten Fragezeichen sollten wir uns einig sein, dass es passt. Ich verstehe nur nicht, was dort kommen muss, wo das rote Fragezeichen steht, damit ich letztlich zu 2^a komme, genau wie übrigens Deiser, der ohne Beweis einfach den Satz schreibt: |P(M)| = 2^a (Erinnerung: Deiser definiert a schlicht als Kardinalzahl für |M|). Wie würdet ihr da weitermachen, um zu 2^a zu kommen?

[attach]56134[/attach]

23.10.2022, 16:24

Elvis

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Deiser weiß natürlich, was er macht, und dies ist eine leichte Übungsaufgabe für Anfänger, die sein Buch bis hierhin verstanden haben. Du hast dir den Zugang selbst verbaut, weil du beharrlich von X nach Y willst, während der Weg von Y nach X leichter zu gehen ist. Das kann man nicht vorher wissen, aber du solltest dir merken, dass manchmal ein bißchen Flexibilität mehr hilft als Beharrungsvermögen.

Definition: Sind $\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ Mengen und $\begin{eqnarray*} |A|, |B| \end{eqnarray*}$ ihre Mächtigkeiten, auch Kardinalzahlen genannt, dann definieren wir (1) $\begin{eqnarray*} |A|^{|B|}:=|B_A| \end{eqnarray*}$ als die Mächtigkeit der Menge der Funktionen von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Satz: Ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge der Mächtigkeit $\begin{eqnarray*} |M| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ ihre Potenzmenge, dann ist $\begin{eqnarray*} |P(M)|=2^{|M|} \end{eqnarray*}$ .
Beweis: $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ ist eine Menge mit $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ Elementen, also (2) $\begin{eqnarray*} |\{0,1\}|=2 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge mit Mächtigkeit $\begin{eqnarray*} |M| \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt $\begin{eqnarray*} 2^{|M|}=|\{0,1\}|^{|M|} \end{eqnarray*}$ wegen (2), $\begin{eqnarray*} |\{0,1\}|^{|M|}=|M_{\{0,1\}}| \end{eqnarray*}$ wegen (1), und wir wissen $\begin{eqnarray*} |M_{\{0,1\}}|=|P(M)| \end{eqnarray*}$ , weil es eine Bijektion von $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} M_{\{0,1\}} \end{eqnarray*}$ gibt.
Also ist $\begin{eqnarray*} 2^{|M|}=|\{0,1\}|^{|M|}=|M_{\{0,1\}}|=|P(M)| \end{eqnarray*}$ qed.

Anmerkung: Der Clou bei der ganzen Sache ist einerseits die Kardinalzahlarithmetik, und andererseits die Indikatorfunktion einer Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , die die Bijektion induziert.

28.10.2022, 23:30

Pippen

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Dem nächsten Abschnitt - allgemeine Summen und Produkte - habe ich wenig Zeit und Raum gewidmet. Ich habe versucht alles möglichst reduziert zusammenzufassen. Ist mir das gelungen? Gibt es bessere Formulierungen? Ich will hier nicht tiefer reinsteigen, aber ich will es zumindest korrekt anreißen, um evtl. später zu ergänzen.

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29.10.2022, 07:04

Elvis

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"Das scheint logisch zu sein" ist ein semantisches Paradoxon, das regelmäßig verwendet wird, wenn man etwas nicht verstanden hat, nicht beweisen kann oder einen nichttrivialen Beweis als triviale Tatsache darstellen möchte.
Ob du das Kapitel 12 verstanden hast weißt du, wenn du alle Fragen beantwortet und alle Übungsaufgaben erfolgreich bearbeitet hast. Als Vorbereitung für die sehr viel kompliziertere Arithmetik der Ordinalzahlen ist das zu empfehlen.

31.10.2022, 07:16

Pippen

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Und was sagst du zu meiner Zusammenfassung? Kann man das so stehenlassen oder ist da ein richtiger Bock drin? Mit dem logischen Schein meine ich, dass der Satz von König, auch wenn man den Beweis nicht nachvollzieht, nachvollziehbar ist, also keinen Wow-Effekt hervorruft, weil etwas der Intuition widerspricht.

31.10.2022, 08:34

Elvis

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Wenn man bedenkt, dass bis vor gut hundert Jahren fast alle Menschen einschließlich große Philosophen und Mathematiker, nicht an die Möglichkeit glauben konnten, dass selbst einfachste Unendlichkeiten wie zum Beispiel die natürlichen Zahlen wirklich existieren, wenn man weiter bedenkt, dass Menschen auf dem Scheiterhaufen von unserer heiligen christlichen Kirche zu Tode gebracht wurden, weil sie die abscheuliche Sünde begangen haben, Unendlichkeiten für möglich zu halten, kann ich nicht glauben, dass die unendlichen Wunder der unendlichen Unendlichkeiten der Mengenlehre heutzutage jemand für logisch und fast selbstverständlich halten kann. Nur weil die neuen Begriffe Kardinalzahlen und Ordinalzahlen den Wortbestandteil Zahlen enthalten ergibt sich daraus keineswegs, dass ihre Vertreter sich wie Zahlen verhalten. Die Selbstverständlichkeit ist eine Autosuggestion, die vermutlich durch die suggestiven Worte für die neuen Begriffe erzeugt wird. Diese Suggestion ist natürlich beabsichtigt, denn nachdem die sehr komplizierten Beweise in der Mengenlehre geführt wurden, wissen wir, dass die neuen Zahlen sich manchmal so verhalten wie die alten Zahlen. Trotzdem oder vielmehr genau deshalb muss man sich mit den Details auseinandersetzen, sonst versteht man das große Ganze nicht und ersetzt nur den falschen Unglauben durch einen wahren Glauben, in der Mathematik geht es aber nicht um Glauben sondern um Wissen.

01.12.2022, 03:38

Pippen

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So endlich kann ich das Kapitel abschließen. So sieht es aus:

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Irgendwas drin, was sauer aufstößt? Ich hätte können natürlich alles noch tiefer behandeln, den ersten Satz beweisen, Nachfolgefkt. usw. definieren und wieder beweisen, aber mir scheint das zu aufwendig als Anfänger, man verliert sonst leicht den Blick für‘s Wesentliche.

01.12.2022, 13:04

Elvis

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Ich kann es noch kürzer zusammenfassen, indem ich sage: "Deisers Geschwafel interessiert mich nicht, weil ich ihn sowieso nicht verstehe". Du hast insofern völlig recht als du gemerkt hast, dass die Mengenlehre schon mit den Kardinalzahlen ziemlich anspruchsvoll geworden ist. Das ist nichts für Schüler, die gerade mal mit natürlichen Zahlen rechnen können.
Vermutlich ist das der Grund, warum der Versuch in den 1970er Jahren grandios gescheitert ist : "In den frühen 1970er-Jahren wurde in der Bundesrepublik der Mathematikunterricht reformiert. Es begann die Zeit der Mengenlehre. Nach einem Jahrzehnt kehrten Lehrer und Schüler aber wieder zum gewohnten Rechnen zurück." https://dspace.ub.uni-siegen.de/bitstrea.../SieB_Band9.pdf
Man dachte damals, wenn die Mengenlehre die Grundlage der Mathematik ist, dann sollte man schon in der Schule mehr Mengenlehre und weniger Rechnen lernen. Damit konnten aber weder Lehrer noch Eltern noch Schüler viel anfangen, und am Ende hatten die Schüler keine Ahnung von Mengenlehre und konnten auch nicht rechnen. Bei manchen MINT-Studierenden heute habe ich den Eindruck, dass diese Unfähigkeit sich dauerhaft erhalten hat.
Ich wünsche dir weiterhin viel Freude und Erfolg beim Studium der Mengenlehre. Steige so tief ein wie du kannst und befasse dich mit allen Details so lange wie es nötig ist, sie zu verstehen, dann machst du nichts falsch.

02.12.2022, 00:51

Pippen

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Das Wesentliche an der ganzen Kardinalzahlarithmetik ist eigentlich:

- Kardinalzahlen symbolisieren die Mächtigkeit von Mengen
- Kardinalzahlarithmetik mit endlichen Kardinalzahlen kommt auf das Gleiche heraus wie die Arithmetik natürlicher Zahlen
- Kardinalzahlarithmetik mit unendlichen Kardinalzahlen hat einige merkwürdige Ergebnisse, die sich aus der Unendlichkeit der Mengen ergeben

Das Ganze untermalt mit einigen Beispielen, die Schritt für Schritt die arithmetischen Operationen aufdröseln - hab ich gemacht - und mehr muss man als Einsteiger erstmal nicht wissen. Was Deiser verschläft - oder es kommt noch - ist zu zeigen, dass diese Arithmetik Dinge beweisen kann, an der die normale Arithmetik scheitert. Ich erinnere mich dunkel, dass mittels transfiniter Induktion über Kardinalzahlen??? irgendwelche weitreichenden Dinge bewiesen wurden, die sonst nicht so einfach zu beweisen waren…oder war das mit Ordinalzahlen??

Jetzt kommt für mich was viel Spannenderes: die Paradoxien. Gott

02.12.2022, 08:48

Elvis

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Zitat:

Original von Pippen
- Kardinalzahlen symbolisieren die Mächtigkeit von Mengen
- Kardinalzahlarithmetik mit endlichen Kardinalzahlen kommt auf das Gleiche heraus wie die Arithmetik natürlicher Zahlen
- Kardinalzahlarithmetik mit unendlichen Kardinalzahlen hat einige merkwürdige Ergebnisse, die sich aus der Unendlichkeit der Mengen ergeben

- Kardinalzahlen sind Mächtigkeiten von Mengen
- Endliche Kardinalzahlen sind natürliche Zahlen
- Unendliche Kardinalzahlen sind Mächtigkeiten unendlicher Mengen

Damit ist klar, dass der Sinn von Kardinalzahlen genau darin besteht, Informationen über unendliche Mengen zu erhalten. Unendliche Mengen unterscheiden sich grundsätzlich von endlichen Mengen, deshalb unterscheidet sich die Arithmetik von Kardinalzahlen grundsätzlich von der Arithmetik natürlicher Zahlen.

02.12.2022, 09:22

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
- Kardinalzahlen sind Mächtigkeiten von Mengen
- Endliche Kardinalzahlen sind natürliche Zahlen
- Unendliche Kardinalzahlen sind Mächtigkeiten unendlicher Mengen

Wie meinst du hier das Wörtchen „sind“?

02.12.2022, 11:43

Elvis

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Kann es darüber noch Zweifel geben ? Kardinalzahlen sind definiert als Mächtigkeiten von Mengen. Endliche Mächtigkeiten sind Mächtigkeiten endlicher Mengen, also natürliche Zahlen. Unendliche Mächtigkeiten sind Mächtigkeiten unendlicher Mengen, also keine natürliche Zahlen.

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