Kardinalzahlen und ihre Arithmetik

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Kardinalzahlen und ihre Arithmetik
Ich werde hier - wie schon bei der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen - meine Notizen zu Deiser‘s Mengenlehre reinstellen; wer will und kann, der darf gern mal drüberschauen und evtl. Fehler oder Unklarheiten ansprecheen.

Los geht es:

[attach]55979[/attach]
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

falsch: "n sei die sog. Kardinalzahl ..." richtig: "n ist die Kardinalzahl ..."
falsch: richtig:
falsch: richtig:
Die Definition der Ungleichungen von Kardinalzahlen, so wie sie dasteht, ist sinnlos. Sie wird erst sinnvoll, wenn man sie mit Abbildungen in Verbindung bringt.
falsch: richtig:
Die Begründung, dass keine surjektive Abbildung existiert, ist falsch.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön!

Ich hoffe, so ist es jetzt richtig:

[attach]55987[/attach]
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens ist statt und zweitens ist die Argumentation noch immer nicht gut. Die würde zeigen, dass .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Begründung ist auch deswegen falsch, weil z.B. eine injektive aber keine surjektive Abbildung ist obwohl n+1=4 ein Urbild 1 hat und f(n)=f(3)=3=n ist.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Mein n wäre hier eine Konstante, nämlich die größte nat. Zahl einer (beliebigen) endlichen Teilmenge von natürlichen Zahlen. Dann klappt es und so verstehe ich auch Deiser’s Nutzung von n. Denn n+1 wäre dann nicht mehr in {0, 1, …, n}, aber sehr wohl in IN (oder Z). Ihr wendet hier n - wie üblich - als Durchlaufvariable an, so dass n+1 nix bringt, weil es letztlich nur eine weitere Instanz von n wäre. Oder funktioniert damit mein Argument immer noch nicht?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Welches Argument? Siehe mein Beispiel.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Argument geht so, wie ich es oben geschrieben habe. Es gibt eine Funktion die injektiv, aber nicht surjektiv ist, nämlich f(n) = n. Denn in der Urbildmenge ist das größte Element n, also ist n+1 dort nicht drin, aber es ist natürlich in IN drin, womit also n+1 in IN in dieser Funktion kein Urbild haben kann. Also |{0, 1, …, n}| < |IN|, denn dafür reicht, dass es irgendeine injektiv & nicht surj. Funktion gibt. Wo läge da noch ein Fehler?

Ich habe übrigens noch etwas ergänzt, hier geld markiert, was mir irgendwie richtig vorkam, aber so nicht bei Deiser steht, womit es natürlich riskant ist:

[attach]55993[/attach]
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte die injektive, nicht surjektive Funktion , die die geraden natürlichen Zahlen auf sich selbst abbildet. Nach deiner Argumentation sind die geraden Zahlen weniger mächtig als die natürlichen Zahlen. Abzählbar unendlich sind beide Mengen, und bekanntlich ist die kleinste unendliche Kardinalzahl. Das ist ein Widerspruch, also ist dein Argument falsch.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kardinalzahlen und ihre Arithmetik
gdw. f: A nach B ist injektiv.
gdw. f: A nach B ist injektiv und kein f: A nach B ist bijektiv bzw. surjektiv.
gdw. f: A nach B ist bijektiv.

Das ist mein Ausgangspunkt, so steht es in meinem Skript. Augenzwinkern Die Mächtigkeit von 2N ist also nicht echt kleiner als die von N, weil es mind. eine Funktion gibt, die beide Mengen bijektiv aufeinander abbilden kann, sie ist damit sogar gleich der Mächtigkeit von N. Passt also.

Ich habe meine Notiz daher nochmal grundlegend geändert:

[attach]55996[/attach]

Wie schaut es damit aus?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist viel Text und mag intuitiv richtig sein, aber ein Beweis ist das nicht. Du kennst die Definitionen für die Vergleichsrelationen für Kardinalzahlen, du wendest sie nur nicht richtig an, m.a.W. du hast sie noch nicht richtig verstanden.
Du willst beweisen, dass

mit f injektiv und g bijektiv. Der erste Teil mit f ist leicht, der zweite Teil mit g gilt gdw alle g nicht bijektiv sind, gdw alle Umkehrfunktionen nicht bijektiv sind. Mit dem Schubfachprinzip ist leicht zu zeigen, dass alle Umkehrfunktionen nicht injektiv sind. Das muss man machen, dann erst darf man qed sagen.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Wir schreiben das Gleiche, ich beredtsamer und laienhafter (ich brauche das irgendwie, macht es leichter für mich, gerade am Anfang), du technischer und versierter. Der Punkt ist, dass N alle Elemente von {0, 1, …, n} hat und zusätzlich mind. n+1. Damit wird jede Bijektion zwischen beiden unmöglich.

Interessant, ob mein Geschreibsel in einer Uni-Übung als Beweis durchgehen würde. Gerade weil der Korrektor einen Studenten vermuten würde, könnte ich mir das vorstellen, weil er gewisse Lücken in der Annahme von Trivialität & Kompetenz selbst schließen würde, während er bei einem Laien skeptischer wäre.

Würdest du auch so sprechen, dass nämlich Aleph-0 größer als jede natürliche Zahl ist? Das wirkt irgendwie als wenn Aleph-0 auf einer Zahlengerade hinter den natürlichen Zahlen kommt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir schreiben und denken nicht das Gleiche sondern total verschiedene Dinge.
Du hast keinen Beweis und bietest stattdessen Worte, die man glauben kann oder auch nicht. Ich glaube solange nichts, bis ich einen fehlerfreien Beweis sehe. Genau so wird das an jeder Universität gelehrt und gehandhabt, du würdest gnadenlos durchfallen, so ergeht es der Mehrheit der Mathematik-Studierenden.
Ich habe bewiesen, dass keine Sprechweise sondern die wahre Aussage ist, dass jede endliche Menge M unendlich viele injektive Abbildungen von M in die natürlichen Zahlen und keine bijektive Abbildung von M auf die natürlichen Zahlen zulässt.
Selbstverständlich glaube ich nicht, dass eine Gerade eine Grenze hat, hinter der etwas kommen kann. Mathematik ist keine Frage der Anschauung sondern eine Wissenschaft, die mittels Definitionen und Logik Beweise für wahre Aussagen herstellen kann. Die Anschauung benutzen wir nur, um Beweise zu finden oder um Aussagen und Beweise zu veranschaulichen, niemals als zulässigen Ersatz für einen Beweis.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Soeben ist mir eingefallen, wie man deine Idee retten kann.
Ist eine endliche Menge und , dann ist auch endlich, hat also ein Maximum . Wegen ist nicht surjektiv.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht ja letztlich nur noch darum zu beweisen, dass keine Funktion von {0, 1, …, n} nach IN surjektiv ist. Das geht mE auch mit meiner Weise wasserdicht, sie ist nur etwas uneleganter. Denn IN beinhaltet trivial alle Elemente von {0, 1, …, n} und eben zusätzlich n+1, was nicht in {0, 1, …, n} drin ist. Dann scheitert jeder Versuch einer Bijektion trivial. Natürlich kann man diese Trivialität noch weiter aufdröseln: nehmen wir an, es gäbe so eine bijektive Funktion, dann gäbe es n-Paare der Form (x,y), aber wg. n+1 muss es n+1-Paare geben, Widerspruch. Aber ich denke, kaum ein Mathematiker würde soweit gehen, dafür wurde das Wort „trivial“ erfunden.

Ich bin mir nicht sicher, ob nicht in einer Klausur meine Beweisversion durchgewunken würde, denn die Beweisidee kommt klar heraus und der Rest ist trivial. (In einer Übung, die wohl eine Woche Zeit hat, mag die Anforderung an Präzision höher sein.)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du nennst alles trivial, was wahr ist und du nicht begreifen kannst. Trivial und falsch ist das was du sagst, denn es geht nicht um n und n+1. Was genau meinst du mit "Es geht ja letztlich nur noch darum..."?
Es geht um beliebige endliche Mengen, um Abbildungen in die natürlichen Zahlen und um deren Eigenschaften. Es geht um Kardinalzahlen, und das sind Mächtigkeiten von Mengen.
Ich finde es höchst unfair, die Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Mengen, die Philosophen und Mathematiker mehrere tausend Jahre lang beschäftigt hat und erst Richard Dedekind und Georg Cantor gelungen ist, mit dem Wort trivial in Verbindung zu bringen.
Übrigens kann kein*e Mathematiker*in entscheiden, ob das richtig oder falsch ist, was er oder sie gemacht hat. In der Mathematik entscheiden immer andere Mathematiker*innen. An der Universität wird jedem Studierenden im ersten Semester gezeigt, dass er nichts weiß und nichts kann.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du hier mit eigenen Worten darstellen kannst, wie und warum das Problem des Endlichen und Unendlichen in der Mathematik und in der Philosophie, in der Theorie und in der Praxis durch die Vorarbeit von Dedekind und die Mengenlehre von Cantor zum ersten Mal und für die Ewigkeit vollständig gelöst wurde, dann glaube ich, dass du das Problem und seine Lösung verstanden hast. Wink

Tipp : Die Verhältnisse scheinen heutzutage ganz einfach zu sein, weil die Schwierigkeiten woanders hin verlagert wurden und dort gelöst werden konnten.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe jetzt elvis‘ Idee verwertet, die ja nur mehr formalisiert, was ich beredeter darstelle. Das ist jetzt also schon eher ein Beweis, der in einer Uniklausur zB akzeptiert würde? Denn ich will mir logischerweise nichts notieren, was mich später bei der Wdh. auf eine falsche Fährte bringt.

[attach]56019[/attach]
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

... welche als endliche Menge aus nat. Zahlen ein größtes Element g enthält ...

Wenn du einen Beweis abschreibst, darfst du nicht ein einziges wichtiges Wort weglassen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

An dem Beweis ist sonst nichts falsch, doch man merkt, dass du kein Mathematiker bist. Wir haben im Laufe von Jahrhunderten eine Sprache entwickelt, die uns durch Formeln und mnemotechnische Bezeichnungen das Denken erleichtert.
Wir schreiben z.B. f, g, h für Funktionen, k, l, m, n für natürliche Zahlen, x, y, z für reelle Zahlen, deswegen würde ich nicht auf die Idee kommen, ein maximales Element einer Menge natürlicher Zahlen g zu nennen.
Die Bezeichnung rng(f) für range ist in der deutschen Sprache ungewöhnlich, wir bevorzugen im(f) für image oder noch besser f(M), weil damit simultan die Funktion f und der Definitionsbereich M angesprochen wird.
Dein Beweis enthält mehr natürliche Sprache als ein Mathematiker heute benutzt und besteht aus einem einzigen deutschen Satz, das macht ihn vermutlich für dich gut verständlich aber nicht für andere. "weil, aber, denn, und, welche, aber, und, so dass" muss der Leser zusätzlich zum mathematischen Gehalt des Beweises verstehen.
Am Ende steht "nie surjektiv", du denkst dabei wohl an alle Funktionen f. Der Beweis bezieht sich aber auf eine Funktion f, daher ist "nicht surjektiv" besser.
Wenn du Mathematik von Oliver Deiser lernen willst, rate ich dir, auch die Sprache zu lernen, die er in seinen Büchern benutzt. Dadurch erwirbst du ganz nebenbei eine bessere weil zeitgemäße Ausdrucksweise, musst ihn nicht mehr in deine Sprache übersetzen und erleichterst dir auf Dauer das Verständnis. Genau so solltest du mit anderen Autoren auch umgehen, aus guten Mathematikbuechern lernt man nicht nur Mathematik sondern auch die Sprache der Mathematik.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, alles richtig erkannt. rng(f) benutze ich, weil es Deiser benutzt und auch sonst muss ich einen Spagat wagen, damit ich es besser verstehe.

„Nie surjektiv“ habe ich schon bewusst geschrieben, um damit zu verdeutlichen, dass es kein solches f gibt. „f“ fungiert ja in dem Beweis als Variable für beliebige Funktionen von {0, 1, …, n} nach IN. Wir müssen ja beweisen, dass es überhaupt keine solche Funktion geben kann, die surjektiv ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe was du meinst und was du sagst. Trotzdem sollte ein Beweis stets einen klaren Aufbau haben.
1. Beginne immer mit Definitionen und Bezeichnungen.
2. Schreibe die Behauptung auf.
3. Führe den Beweis und schließe ihn ab.
4. Ziehe Folgerungen und schreibe sie als Korollare auf.

Hier hast du einen Beweis für eine (beliebige aber feste) natürliche Zahl n und eine (beliebige aber feste) Funktion f von einer bestimmten endlichen Menge in die natürlichen Zahlen.
Der Beweis zeigt, dass f nicht surjektiv ist. qed
Korollar: Alle Funktionen von allen endlichen Menge in die natürlichen Zahlen sind nicht surjektiv.

Es ist ja nicht so, dass wir alle Funktionen von allen endlichen Mengen in die natürlichen Zahlen betrachten könnten, deshalb muss unsere Sprache das auch deutlich zum Ausdruck bringen.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Deiser macht es einem blutigen Anfänger mit seiner „Einführung“ wahrlich schwer, man muss viel selber erdenken, fühlt sich aber hilflos, weil man in allem noch zu fehleranfällig ist. Naja, hier geht es weiter, das rot markierte musste ich mir selbst zusammenreimen und daher sehr unsicher, ob das stimmt und wenn nicht, wie es richtig ist.

Nur den ersten Screenshot beachten! Keine Ahnung, was da falsch lief!

[attach]56031[/attach]
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deiser macht alles so einfach wie möglich, die Mengenlehre ist nun mal nicht so einfach, dass man kleine Kinder damit belasten kann. Du selbst machst dir das Leben schwer, weil du immer pathologische Randprobleme zuerst betrachtest und dann auch noch Fehler einbaust. Du darfst doch nicht Mengen mit Kardinalzahlen verwechseln. Mengen haben Mächtigkeiten, Kardinalzahlen nicht.
Wenn du verstehen willst, was richtig ist, dann musst du einfache Beweise für die Rechenregeln korrekt und einfach führen. Hier ein Beispiel :

Behauptung: Für und gilt
Beweis: qed

Einfach und effektiv und effizient. Arithmetik von Kardinalzahlen ist über Mächtigkeit von Mengen definiert. Also geht man immer von Formeln mit Kardinalzahlen aus, übersetzt sie in Mächtigkeiten von Mengen, macht ein paar triviale Mengenoperationen und übersetzt wieder in Formeln mit Kardinalzahlen.

Der ganze einleitende Text bei Deiser sagt genau das aus, er legt wortreich dar, dass es genau darauf ankommt und nur Philosophen aber nicht Mathematiker sich weiter über die Natur des Seins von Kardinalzahlen Gedanken machen sollen.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Du darfst doch nicht Mengen mit Kardinalzahlen verwechseln. Mengen haben Mächtigkeiten, Kardinalzahlen nicht.

Das hängt davon ab. Kardinalzahlen kann man als gewisse Ordinale auffassen, womit sie Mengen sind, siehe WP Kardinalzahlen: Definition.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Ordinalzahlen befasst sich Deiser in einem späteren Teil seiner Einführung. Das hat aber nichts damit zu tun, dass Pippen massive Fehler macht, wenn er a=|A|=A setzt.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ja drei Sachen rot markiert, die falsch sein könnten (das Andere ist nur abgeschrieben). Ich habe mE die Rechenregeln korrekt ausgeführt, aber ich komme manchmal zu fragwürdigen Ergebnissen, d.h. da ist was falsch, aber was/wie?

[attach]56035[/attach]
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt



mit





Die einzige Relation ist die leere Relation Für sie sind die Allquantifizierungen wahr aufgrund vacuous truth. Somit gilt

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Pippen
Bei dem was du Beispiele nennst ist fast alles falsch. Du schreibst oder 0 zwischen senkrechte Striche. Kardinalzahlen gehören da nicht hin, Kardinalzahlen sind Mächtigkeiten von Mengen, sie sind keine Mengen, die Kardinalzahlen haben. Hast du nicht gelesen, dass ich dich schon darauf hingewiesen habe, dass du Mengen mit Kardinalzahlen verwechselst? Ist doch klar, dass Unsinn rauskommt, wenn du Unsinn schreibst und Unsinn rechnest. Damit du etwas Sinnvolles tun kannst, habe ich dir auch exemplarisch gezeigt, wie man richtig damit umgeht.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde nochmal die Beispiele ansehen und ändern. Aber die beiden ersten roten Markierungen sind wenigstens schonmal richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Die Summe von Kardinalzahlen muss definiert werden als Kardinalzahl einer disjunkten Vereinigung. Würde man beliebige Mengen zulassen, wäre z.B. 2+3 nicht eindeutig zwischen 3 und 5.

Warum Deiser für die Menge der Abbildungen von B nach A die Bezeichnung wählt und damit wird, weiß ich aber nicht. Ich bevorzuge für die Menge der Abbildungen von B nach A, dann kann ich mir leichter merken, und es verträgt sich auch besser mit dem Vektorraum und allgemeiner mit dem Vektorraum für einen beliebigen Körper K und eine beliebige Menge M. (Vermutlich ist Deiser kein Algebraiker, macht nichts, man kann ja nicht alles können.)
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

So, der zweite Versuch. Ich hoffe, jetzt sind da keine oder so wenige Fehler, dass man sie konkret ansprechen kann. Beim Fragezeichen hab ich keine Ahnung, für mich kommt dort genauso wie bei 0^n Null raus, weil es genauso wie dort kein geordnetes Paar und damit keine Funktionswerte geben kann. Wie man da auf 1 kommt, ist mir schleierhaft.

Die drei letzten Beispiele habe ich aus einer Bachelorarbeit (aus dem Internet) abgeschrieben.

[attach]56046[/attach]
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Pippen, ich hab dir in meinem letzten Beitrag bereits erklärt, warum und somit für jedes beliebige gelten muss. Das Prädikat beschreibt da die Linksvollständigkeit, das Prädikat die Rechtseindeutigkeit.

Es gilt und somit für da eine Abbildung jedem Element des Definitionsbereichs per Definition (Linksvollständigkeit) ein Bild zuordnen muss, was bei einer leeren Zielmenge jedoch unmöglich ist. Ergo ist die Menge solcher Abbildungen leer. Genauer gesagt kann die Existenzquantifizierung in



nicht erfüllt werden. Ist allerdings wird dieser Umstand wie gesagt durch die leere Wahrheit der Allquantifizierung davor überschattet.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe auch Die leere Funktion in Wikipedia, Empty Mapping is Mapping in ProofWiki und Why is an empty function considered a function? in Mathematics Stack Exchange. Da steht nochmals dasselbe in steigender Ausführlichkeit.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

So, dritte Version, passt das jetzt, auch von der Begründung? (Sorry, ich muss es noch etwas beredeter haben, weil zuviel Symbolik mich noch mehr verwirrt als erhellt)

Springt dir/euch sonst noch was ins Auge, was irgendwie inkorrekt scheint?

[attach]56047[/attach]
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Beispiele sind nicht alle offensichtlich falsch.
1. Okay
2. Warum?
Korollar. Warum?
3.,4. Es steht die Kardinalzahl n in |... |, das ist falsch
3.,4. |{0,...,n}|=n+1,also falsch
5.,6.,7. Warum?

Du hast schon Fortschritte gemacht, aber nicht genug. Du sollst auch bei Beispielen immer nach der Methode "Definition, Behauptung oder Satz, Beweis, Folgerung oder Korollar" vorgehen und diese Schlüsselwörter auch hinschreiben. Ich kann nicht Gedanken lesen, deswegen weiß ich nicht, ob du die einfachen Beispiele verstanden hast oder nur doppelt aufschreibst.

3+2=|...| nach Deiser und 3+2=5 weiß jedes Kind , also 3+2=|...|=5
Wenn du so vorgehst, hast du nichts gelernt. In deinem Vorwort schreibst du ja auch, dass die Symbole allein nicht ausreichen, und das sehe ich genauso.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp : Damit endliche Kardinalzahlen n und natürliche Zahlen n nicht ständig verwechselt werden, ist es besser, bei diesen Beispielen nicht mit Teilmengen von zu rechnen. Probiere es mal mit , das hilft Denkfehler und Schreibfehler zu vermeiden.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe da immee noch nicht etwas Fundamentales. Für mich gilt:

1. f: {} -> A, dann f = {}.
2. f: A -> {} (und A ist nicht leer), dann f = {}
3. {f | f: {} -> A} = {{}}
4. {f | f: A -> {}} = {}.

Ist das so richtig?
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