Einschließungssatz

22.09.2022, 10:28

explog1

Einschließungssatz

Sei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine Verteilungsfunktion mit $\begin{eqnarray*} F(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_F:=\int_{0}^{\infty}1-F(y)dy<\infty \end{eqnarray*}$ .

Es gilt wegen der Monotonie von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x}\frac{(1-F(x-y))(1-F(y))}{1-F(x)}dy=2\int_{0}^{x/2}\frac{(1-F(x-y))(1-F(y))}{1-F(x)}dy\geq 2\int_{0}^{x/2}1-F(y)dy. \end{eqnarray*}$ (1)

Also:
$\begin{eqnarray*} \liminf_{x\to \infty}\int_{0}^{x}\frac{(1-F(x-y))(1-F(y))}{1-F(x)}dy\geq 2\int_{0}^{\infty}1-F(y)dy=2\mu_F. \end{eqnarray*}$ (2)

$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ erfülle nun zusätzlich:

$\begin{eqnarray*} 2\mu_F=\lim_{x\to \infty}\int_{0}^{x}\frac{(1-F(x-y))(1-F(y))}{1-F(x)}dy \end{eqnarray*}$ . (*)

Wir wollen zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1-F(x-t)}{1-F(x)}=1. \end{eqnarray*}$

Für diesen Zweck:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x/2}\frac{(1-F(x-y))(1-F(y))}{1-F(x)}dy=\int_{0}^{t}\frac{(1-F(x-y))(1-F(y))}{1-F(x)}dy+\int_{t}^{x/2}\frac{(1-F(x-y))(1-F(y))}{1-F(x)}dy\geq\int_{0}^{t}1-F(y)dy+\underbrace{\frac{1-F(x-t)}{1-F(x)}}_{\geq 1}\int_{t}^{x/2}1-F(y)dy \end{eqnarray*}$

Laut Skript ist die rechte Seite $\begin{eqnarray*} \geq \mu_F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1-F(x-t)}{1-F(x)}=1 \end{eqnarray*}$ folgt dann aus dem Einschließungssatz.

Ich glaube nicht, dass die Argumentation so stimmt Hammer

.

Ich würde es so machen:
Für die linke Seite gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x/2}\frac{(1-F(x-y))(1-F(y))}{1-F(x)}dy \to \mu_f \end{eqnarray*}$ wegen (*) und $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x}\frac{(1-F(x-y))(1-F(y))}{1-F(x)}dy=2\int_{0}^{x/2}\frac{(1-F(x-y))(1-F(y))}{1-F(x)}dy \end{eqnarray*}$ aus (1).

Für die rechte Seite gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t}1-F(y)dy+\underbrace{\frac{1-F(x-t)}{1-F(x)}}_{\geq 1}\int_{0}^{x/2}1-F(y)dy\geq \int_{0}^{x/2}1-F(y)dy\to \mu_F. \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Wieso haben wir die beiden Abschätzungen in (1) und (2) aufgeschrieben? Haben wir die überhaupt gebraucht?

Edit By IfindU: Nachfolgekommentare eingearbeitet zur besseren Lesbarkeit

22.09.2022, 10:40

explog1

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In (1) habe ich auf der rechten Seite den Faktor 2 vergessen

22.09.2022, 10:44

explog1

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Und

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\frac{1-F(x-t)}{1-F(x)}}_{\geq 1}\int_{t}^{x/2}1-F(y)dy \end{eqnarray*}$

statt

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\frac{1-F(x-t)}{1-F(x)}}_{\geq 1}\int_{0}^{x/2}1-F(y)dy \end{eqnarray*}$

(Integral soll bei t beginnen)

25.09.2022, 06:59

explog1

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Irgendjemand eine Idee?

25.09.2022, 09:47

IfindU

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RE: Einschließungssatz

Zitat:

Original von explog1
Wir wollen zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1-F(x-t)}{1-F(x)}=1. \end{eqnarray*}$

Ich glaube die meisten verwirrt das. Das ist falsch für beliebige $\begin{eqnarray*} x,t \end{eqnarray*}$ und es ist unnötig kompliziert aufgeschrieben (es wäre äquivalent zu $\begin{eqnarray*} F(x-t) = F(x) \end{eqnarray*}$ .)

Was ist hier eigentlich gemeint? $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{1-F(x-t)}{1-F(x)}=1 \end{eqnarray*}$ ?

25.09.2022, 10:09

explog1

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RE: Einschließungssatz

Zitat:

Original von IfindU

Zitat:

Original von explog1
Wir wollen zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1-F(x-t)}{1-F(x)}=1. \end{eqnarray*}$

Ja, es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{1-F(x-t)}{1-F(x)}=1 \end{eqnarray*}$ gemeint

25.09.2022, 10:12

IfindU

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RE: Einschließungssatz
Damit wird wenigstens ein Schuh draus... also ich sehe keinen Unterschied in der offiziellen und deiner Argumentation. Deine ist nur ausführlicher... oder überseh ich was?

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