Limes inferior und Additivität von Mengen

24.09.2022, 11:34	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes inferior und Additivität von Mengen Hallo Liebes Matheboard, Wir haben eine WSK-Raum und eine Folge von Mengen A_n Es gilt zu zeigen aus $\begin{eqnarray} P(\lim_ {n \to \infty} inf A_n)=1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} P((\lim_ {n \to \infty} inf A_n^c)^c)=1 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} P(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=1 \end{eqnarray}$ Meine Idee: erst dachte ich Borel-Cantelli dann bin ich auf folgende Gleichung gestoßen: $\begin{eqnarray} P(\lim_ {n \to \infty} sup A_n)= \lim_ {n \to \infty} P(\bigcup_{k=n}^\infty A_k) \end{eqnarray}$ jetzt hab ich versucht mit DeMorgan meine gegebenen Gleichungen anzupassen.. komme hier aber nicht weiter. Freue mich über Ratschläge, Gruß, eure HiBee
24.09.2022, 11:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \liminf_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left( \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m\right) \end{eqnarray}$ sowie gemäß der DeMorgan-Regeln $\begin{eqnarray} \left(\liminf_{n\to\infty} A_n^c\right)^c = \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \left( \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m^c\right)\right)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( \bigcap_{m=n}^{\infty} A_m^c\right)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( \bigcup_{m=n}^{\infty} A_m\right) = \limsup_{n\to\infty} A_n \end{eqnarray}$ . Nun folgt aus diesen Definitionen $\begin{eqnarray} \liminf_{n\to\infty} A_n \subseteq \limsup_{n\to\infty} A_n \subseteq \bigcup_{m=1}^{\infty} A_m \end{eqnarray}$ und damit auch $\begin{eqnarray} P\left( \liminf_{n\to\infty} A_n \right) \leq P\left( \limsup_{n\to\infty} A_n \right) \leq P\left( \bigcup_{m=1}^{\infty} A_m\right) \end{eqnarray}$ .
24.09.2022, 11:56	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so. und weil die WSK höchstens 1 sein kann, folgt somit schon die Gleichheit. Dankeschön
24.09.2022, 12:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es.

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