Sigma-Algebra

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24.09.2022, 12:34	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma-Algebra Hallo Matheboard Wir haben einen WSK-Raum $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathfrak{A},P) \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} \mathfrak{C}=\{A\in\mathfrak{A}\|P(A)\in \{0,1\}\} \end{eqnarray}$ eine Sigma-Algebra ist. Meine Idee: ich hab den Beweis fast fertig, nur bei der endlichen Vereinigung fehlt mir noch ein Teil, nämlich wenn alle P(A_i) = 0 sind, wieso dann auch die WSK der Vereinigung 0 sein muss... Ich dachte vielleicht kann ich anwenden, das $\begin{eqnarray} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \end{eqnarray}$ ist und dann induktiv argumentieren... aber ich bin mir da noch unsicher ob $\begin{eqnarray} P(A\cap B)=0 \end{eqnarray}$ sein muss... die stochastische Unabhängigkeit war nämlich nicht gegeben. Danke schonmal für eure Tipps, Gruß, eure HiBee. edit: Vorzeichenfehler korrigiert.
24.09.2022, 12:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst ist da ein Vorzeichenfehler drin, das ändert aber nichts am Ergebnis. Für P(A)=0 ist doch P(C)=0 für jede Teilmenge C von A.
24.09.2022, 12:51	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach supi das war der entscheidende Schritt, der mir gefehlt hat, Dankeschön!
24.09.2022, 13:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau genommen benötigt man das aber sogar auch für abzählbare Vereinigungen. Was auch kein Problem ist, denn es gilt ja $\begin{eqnarray} P\left(\bigcup_n A_n\right) \leq \sum_n P\left(A_n\right) = 0 \end{eqnarray}$ sofern alle $\begin{eqnarray} P(A_n)=0 \end{eqnarray}$ sind.
24.09.2022, 13:03	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Was mich zur nächsten Teilaufgabe bringt. es gilt zu zeigen oder zu widerlegen, das folgendes eine Sigma-Algebra ist: $\begin{eqnarray} \mathfrak{A}_\omega =\{A\subseteq \Omega\|\omega \in A oder \omega \in A^c\} \end{eqnarray}$ wieder hängt es beim letzten Schritt: Die beliebige Vereinigung. also Wenn alle A_i Omega enthalten, ist es natürlich auch in der Vereinigung, genauso wenn A_i^c alle Omega enthalten, ist es im Schnitt, also im Komlement der Vereinigung. Was aber mache ich , wenn manche A_i und andere A_j^c omega enthalten?
24.09.2022, 13:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage " $\begin{eqnarray} \omega \in A \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \omega \in A^c \end{eqnarray}$ " trifft auf ALLE $\begin{eqnarray} \omega\in\Omega \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A\subseteq \Omega \end{eqnarray}$ zu. Insofern ist dieses $\begin{eqnarray} \mathfrak{A}_\omega \end{eqnarray}$ stets die Potenzmenge von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , völlig unabhängig von $\begin{eqnarray} \omega\in\Omega \end{eqnarray}$ . Eine Scherzaufgabe, oder doch ein Verschreiber in der Definition von $\begin{eqnarray} \mathfrak{A}_\omega \end{eqnarray}$ ?
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24.09.2022, 13:18	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Altklausuraufgabe, tatsächlich... Also ich hatte das so verstanden, dass man ein omega, zum Beispiel 1 wählt und dann alle Mengen betrachtet, die 1 enthalten also wenn ich zum Beipsiel $\begin{eqnarray} \mathfrak{A}=\{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\} \end{eqnarray}$ die Mengen {1} und {1,2,3} ... ja ich glaub ich verstehe was du meinst... komisch...
24.09.2022, 13:31	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir betrachten ja nicht die omega, die in einem A liegen, sondern andersherum die A in denen das omega liegt....
24.09.2022, 14:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Und? Ändert das irgendwas an der Tatsache, dass $\begin{eqnarray} \mathfrak{A}_\omega \end{eqnarray}$ gemäß deiner Definition von oben stets die Potenzmenge von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist?
24.09.2022, 14:06	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne... also dann lautet die Antwort einfach: JA es ist eine Sigma-Algebra, weil es die Potenzmenge ist.

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