Betrag einer Zufallsvariablen

24.09.2022, 19:10

HiBee123

Betrag einer Zufallsvariablen

Liebes Matheboard,

Y und Z sollen zwei Zufallsvariablen auf einem WSK-Raum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathfrak{A},P) \end{eqnarray*}$ in den messbaren Raum $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}, Pot(\mathbb{Z})) \end{eqnarray*}$ sein

Zu zeigen durch explizites Nachrechnen der definierenden Eigenschaft einer messbaren Funktion, bzw. der stochastischen Unabhängigkeit ist nun

a)
|Y| : $\begin{eqnarray*} \Omega \rightarrow \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist eine messbare Abbildung von $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak{A}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z},Pot(\mathbb{Z})) \end{eqnarray*}$

b) Sind Y und Z stochastisch unabhängig, so sind auch |Y| und Z stochastisch unabhängig

Meine Idee:
wir wissen bereits, dass Y^{-1}(z) in Omega liegt. ... und weiter weiß ich gerade nicht....

Dankbar für Tipps,
Gruß,
eure HiBee

25.09.2022, 11:11

HAL 9000

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Tatsächlich geht es viel allgemeiner:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} g:\;\mathbb{Z}\to \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h:\;\mathbb{Z}\to \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

a') Dann ist $\begin{eqnarray*} U=g(Y) \end{eqnarray*}$ eine messbare Abbildung von $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak{A}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z},Pot(\mathbb{Z})) \end{eqnarray*}$ .

b') Sind $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig, so sind auch $\begin{eqnarray*} U=g(Y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V=h(Z) \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig

Dein a),b) betrifft dann den Spezialfall $\begin{eqnarray*} g(t)=|t|,h(t)=t \end{eqnarray*}$ .

Beweisskizze:

a') Nachzuweisen ist lediglich die Messbarkeit, d.h., dass $\begin{eqnarray*} U^{-1}\left(B\right)\in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ für alle Mengen $\begin{eqnarray*} B\subseteq\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gilt.

b') Nachzuweisen ist $\begin{eqnarray*} P(U\in B,V\in C) = P(U\in B)\cdot P(V\in C) \end{eqnarray*}$ für alle Mengen $\begin{eqnarray*} B\subseteq\mathbb{Z},C\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Oder inhaltlich gleich, aber anders geschrieben:

$\begin{eqnarray*} P\left(U^{-1}(B) \cap V^{-1}(C)\right) = P\left(U^{-1}(B)\right)\cdot P\left(V^{-1}(C)\right) \end{eqnarray*}$ .

25.09.2022, 11:30

HiBee123

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Danke für die Antwort. Funktioniert es also so:
$\begin{eqnarray*} U^{-1}(B)=(g \circ Y)^{-1}(B)=Y^{-1} \circ g^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^{-1}(x)\in \{x,-x\}<br /> \end{eqnarray*}$ also in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und für Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist Y messbar?

25.09.2022, 12:41

HAL 9000

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Genau: Es ist $\begin{eqnarray*} U^{-1}(B) = Y^{-1}\left(g^{-1}(B)\right) = Y^{-1}\left(B'\right) \end{eqnarray*}$ , wenn man $\begin{eqnarray*} B':=g^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ setzt, wobei $\begin{eqnarray*} B' \end{eqnarray*}$ dann auch eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist. Und da $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ Zufallsgröße ist, gilt $\begin{eqnarray*} Y^{-1}\left(B'\right)\in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ . (Das gilt wohlgemerkt auch für die allgemeinere Variante a') ).

Auch bei b') kommt man mit ähnlichen Techniken zum Ziel.

25.09.2022, 12:50

HiBee123

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Bei der b') seh ichs leider noch nicht... verwirrt

könntest du mir da noch einen Tipp geben? Und vielleicht auch erklären, warum es egal ist ob wir die Funktion, oder deren Umkehrabbildung betrachten?

25.09.2022, 12:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} P\left(U^{-1}(B) \cap V^{-1}(C)\right) = P\left(U^{-1}(B)\right)\cdot P\left(V^{-1}(C)\right) \end{eqnarray*}$ .

Eingesetzt ist dann nachzuweisen

$\begin{eqnarray*} P\left(Y^{-1}\left(g^{-1}(B)\right) \cap Z^{-1}\left(h^{-1}(C)\right)\right) = P\left(Y^{-1}\left(g^{-1}(B)\right)\right)\cdot P\left(Z^{-1}\left(h^{-1}(C)\right)\right) \end{eqnarray*}$

Nun sind $\begin{eqnarray*} B':=g^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C':=h^{-1}(C) \end{eqnarray*}$ ja auch wieder nur irgendwelche Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , für die dann also

$\begin{eqnarray*} P\left(Y^{-1}\left(B'\right) \cap Z^{-1}\left(C'\right)\right) = P\left(Y^{-1}\left(B'\right)\right)\cdot P\left(Z^{-1}\left(C'\right)\right) \end{eqnarray*}$ .

Nun, und das ist wegen der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} Y,Z \end{eqnarray*}$ per deren Definition erfüllt.

25.09.2022, 13:10

HiBee123

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Ah ja gut.
Dann ist also
$\begin{eqnarray*} P(U^{-1}(B)\cap V^{-1}(C))=P(U^{-1}(B))\cdot P(V^{-1}(C)) \end{eqnarray*}$ AH ja...
ach so und $\begin{eqnarray*} P(U^{-1}(B))=P(U \in B) \end{eqnarray*}$ weil das U eine Funktion ist, man spart sich also quasi das U(x) in B und schreibt kurz U in B . Da hatte es bei mir noch geharkt...

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