Poissonverteilte bedingte WSK

25.09.2022, 11:51

HiBee123

Poissonverteilte bedingte WSK

Hallöchen

Seien X und Y stochastisch unabhängig und
$\begin{eqnarray*} X\sim po(\lambda) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y\sim po(\mu) \end{eqnarray*}$ in einer Teilaufgabe haben wir schon bewiesen, dass dann $\begin{eqnarray*} X+Y\sim po(\lambda+\mu) \end{eqnarray*}$
folgende WSK soll bestimmt werden:
$\begin{eqnarray*} p_m:=P(Y=m|X+Y=n) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$

Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} p_m:=P(Y=m|X+Y=n)= \frac{P(Y=m \cap X+Y=n)}{P(X+Y=n)} = \frac{P(Y=m, X=n-m)}{P(X+Y=n)}= \frac{P(Y=m)P( X=n-m)}{P(X+Y=n)}=\frac{e^{-\mu} \frac{\mu^m}{m!}e^{-\lambda} \frac{\lambda^{n-m}}{(n-m)!}}{e^{-\lambda-\mu} \frac{(\lambda+\mu)^{n}}{n!}}<br /> \end{eqnarray*}$

ist das so okay?

Grüße,
eure HiBee

25.09.2022, 13:01

IfindU

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RE: Poissonverteilte bedingte WSK
Was ist denn, wenn $\begin{eqnarray*} n < m \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Ansonsten schreit das ja dazu vereinfacht zu werden.

25.09.2022, 13:16

HiBee123

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RE: Poissonverteilte bedingte WSK
Wenn n kleiner m ist, ist die Wahrscheinlichkeit 0.
ich hatte mich nicht getraut dieses Monster zu vereinfachen, deshalb hab ichs einfach so gelassen ehe ich Fehler mache, aber ich versuchs mal...

$\begin{eqnarray*} p_m:=\frac{e^{-\mu} \frac{\mu^m}{m!}e^{-\lambda} \frac{\lambda^{n-m}}{(n-m)!}}{e^{-\lambda-\mu} \frac{(\lambda+\mu)^{n}}{n!}}=\frac{ \frac{\mu^m \lambda^{n-m}}{(n-m)!}}{\frac{(\lambda+\mu)^{n}}{n!}}=\begin{pmatrix} n \\ m\end{pmatrix} \frac{ \mu^m \lambda^{n-m}}{(\lambda+\mu)^{n}}<br /> \end{eqnarray*}$

25.09.2022, 13:23

IfindU

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RE: Poissonverteilte bedingte WSK
Sieht gut aus. Als Probe kannst du ja $\begin{eqnarray*} \sum p_m \end{eqnarray*}$ berechnen. Sollte lieber mal 1 rauskommen, wenn es richtig ist Augenzwinkern

25.09.2022, 13:25

HiBee123

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RE: Poissonverteilte bedingte WSK
Jup Freude

kommt eins raus, wegen binomischer Formel.

Dankeschön! smile

25.09.2022, 13:26

IfindU

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RE: Poissonverteilte bedingte WSK
Sehr gut, und wenn du schon binomische Formel sagst, erinnert dich das vielleicht auch an eine andere Verteilung?

25.09.2022, 13:36

HiBee123

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RE: Poissonverteilte bedingte WSK
Als könntest du hellsehen! geschockt

Da war doch tatsächlich noch die Teilaufgabe wie diese Verteilung heißt... geschockt

Ja klar wenn man das noch ein wenig umstellt, kommt man drauf das es binomial verteilt ist.

25.09.2022, 13:49

IfindU

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RE: Poissonverteilte bedingte WSK
Top Freude

Edit: Wenn HAL vorbei schaut, kann er uns sicher auch eine intuitive Deutung davon geben. Augenzwinkern

25.09.2022, 14:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von HiBee123
$\begin{eqnarray*} p_m:=\frac{e^{-\mu} \frac{\mu^m}{m!}e^{-\lambda} \frac{\lambda^{n-m}}{(n-m)!}}{e^{-\lambda-\mu} \frac{(\lambda+\mu)^{n}}{n!}}=\frac{ \frac{\mu^m \lambda^{n-m}}{(n-m)!}}{\frac{(\lambda+\mu)^{n}}{n!}}=\begin{pmatrix} n \\ m\end{pmatrix} \frac{ \mu^m \lambda^{n-m}}{(\lambda+\mu)^{n}}<br /> \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} p:=\frac{\mu}{\lambda+\mu} \end{eqnarray*}$ wird daraus $\begin{eqnarray*} p_m = \binom{n}{m} p^m (1-p)^{n-m} \end{eqnarray*}$ . Könnte einen an eine bestimmte Verteilung erinnern...

EDIT: Achso, steht dann auch schon bei dir mehrere Beiträge später. Augenzwinkern

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