Exponentialfunktion-Textaufgabe |
| 09.09.2004, 13:56 | Soulmate | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Exponentialfunktion-Textaufgabe Ich brauche unbedingt Hilfe beim Lösen folgender Aufgabe: Die Zeitspanne, in der die Hälfte eines radioaktiven Stoffes zerfällt, heißt "Halbwertszeit". Das Kohlenstoff-Isotop ^14C hat eine Halbwertszeit von 5730 Jahren. Stelle das Zerfallsgesetz auf. Wieviel Prozent einer vorhandenen Stoffmenge zerfällt jeweils in 100 Jahren? Danke! |
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| 09.09.2004, 14:25 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Erstelle erst einmal eine Wertetabelle: 1. Zeile: t-Werte 0, 5730, 11460, ... (5730-Jahres-Schritte) 2. Zeile: S-Werte 100 %, ... S soll die Prozentzahl der Stoffmenge (bezogen auf die anfängliche Stoffmenge) sein, die zur Zeit t noch vorhanden ist. Was fällt auf? |
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| 09.09.2004, 15:36 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Einen kontinuierlichen Verlauf erzielt man mit der Funktion wobei die Anfangsmenge, M(t) die nach der Teit t noch vorhandene Menge, k > 0 die Zerfallskonstante und t die Zeit (hier in Jahren) bedeutet. Die Halbwertszeit T ist jene Zeit, nach der gerade die Hälfte des Stoffes zerfallen ist. das fällt aus der Gleichung heraus und es ist Weil in diesem Fall T bekannt ist, kann k berechnet und dann in obiges Zerfallgesetz eingesetzt werden. Der Prozentsatz der nach 100 Jahren zerfallenen Menge kann somit ebenfalls berechnet werden, wir setzen für t = 100 und das eben errechnete k ein. Wir erhalten dann die nach 100 Jahren noch vorhandene Restmenge, diese besteht zu multipliziert mit einem Faktor kleiner als 1. Der gesuchte Prozentsatz ist dann 100*(1 - diesem Faktor), z.B. bei wären bereits 18% zerfallen. Gr mYthos |
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| 09.09.2004, 16:00 | Soulmate | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
das sieht so kompliziert aus! 
ich habs einmal auf meinem weg versucht, hab aber k.a. ob das richtig ist, aber immerhin hab ich mir gedanken gemacht: B(t) = B(0)*a^t B(0) = c B(5730) = c/2 c/2 = c*a^5730 /:c 0,5 = a^5730 ist der ansatz richtig? wie kriege ich jetzt a raus? |
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| 09.09.2004, 16:36 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dein Ansatz ist richtig. Dein a ist nämlich nichts anderes als e^(-k). Du kommst daher ebenfalls zum Ergebnis, musst aber in diesem Fall sehr genau (auf möglichst viele Dezimalstellen) rechnen, denn a liegt sehr nahe an 1. a erhältst du nun durch Logarithmieren der Gleichung: ln(0,5) = 5730*ln(a) ... oder du ziehst quasi gleich die 5730.te Wurzel aus 0,5 (mit dem Taschenrechner) a = 0,999879039222 Gr mYthos |
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| 09.09.2004, 17:22 | Soulmate | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
0,5 = a^5730 ich wollte es logarithmieren... lg(0,5) = 5730*lg(a) aber ich hab keine ahnung wie man das nach a auflöst, damit ich auf das ergebnis a=0,9987...komme. |
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| 09.09.2004, 17:50 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
9=x² Da würdest du auch nicht logarithmieren, oder ? Probier es mal mit der 5730sten Wurzel aus a, genau wie Mythos gesagt hat |
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| 09.09.2004, 17:58 | Soulmate | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
0,5 = a^5730 /: 5730te wurzel (oder wie lautet der rechenbefehl?) 5730te wurzel von 0,5 = 5730te wurzel von a^5730 richtig? aber jetzt hab ich immer noch nicht a raus! oder kürzt man nun hier die 5730 weg und hat somit nur noch a? : 5730te wurzel von a^5730 also a= 5730te wurzel von 0,5 ??? |
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| 09.09.2004, 18:09 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Komm doch nochmal auf mein Beispiel zurück. Wie lautet denn hier der Rechenschritt ? x² = 9
Jup, nu hastes : ) |
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| 09.09.2004, 18:20 | Soulmate | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
bei x² = 9 ist der rechenbefehl ganz einfach durch wurzel! aber bei a^5730 kann das doch nicht so sein! und ich versteh nicht warum man bei 5730te wurzel von a^5730 einfach die "5730" wegkürzt und dann a hat. man hat doch dann eigentlich wurzel von a! ----------------------------------------------------------------------------- also a= 0,999879039222 Antwort: Also das Zerfallgesetz lautet: B(t) = c * a^t B(t) = c * 0,99987...^t Und: 0,9999% einer vorhandenen Stoffmenge zerfallen jeweils in 100 Jahren. Ist die Aufgabe somit richtig und komplett gelöst? |
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| 09.09.2004, 18:22 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
.. also logarithmieren geht schon auch, wenn man sich gegen das Ziehen der 5730. ten Wurzel sträubt.., es bleibt sich aber gleich. lg(0,5) = 5370*lg(a) lg(a) = lg(0,5) / 5370 lg(a) = -0,000056057727311728341753024002741991 a = 10^(-0,000056057727311728341753024002741991) a = ... oder statt 10^... einfach am Taschenrechner auf INV LOG drücken |
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| 09.09.2004, 18:27 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du ziehst aus beidem die zweite (!) Wurzel-
Und warum nicht ? Nenns mal x anstatt a : 0,5 = x^5730. Nun ziehst du aus beidem die 5730ste Wurzel. Wo liegt nun der große Unterschied ?
Dein a hast du ja, also würde ich vorsichtig behaupten das die Aufgabe beendet ist. (Unter vorbehalt, hab den Thread nicht komplett verfolgt.) |
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| 09.09.2004, 18:28 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Doch, genau so, wie schon beschrieben!
Ja!
Nein! Jetzt musst du in deine Zerfallsformel erst für t = 100 einsetzen! Es bleiben dann noch das 0,987-fache der ursprünglichen Menge (c) bestehen. Wieviel % sind nun zerfallen? Gr mYthos |
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| 09.09.2004, 18:58 | Soulmate | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
irgendwie krieg ich nichts vernünftiges raus... B(t) = c * a^t 100 = c * 0,999879039222^100 100 = c * 0,98797604 /: 0,98797604 100/0,98797604 = c c = 101, 22 das kann ja nicht korrekt sein. |
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| 09.09.2004, 19:01 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also t=100 Wo gräbst du denn die 100 auf der linken Seite aus ? Da müsste stehen B(100) = ..... |
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| 09.09.2004, 19:02 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
für t = 100, nicht für B(t) !! Also links kommt B(100) und rechts c*(0,9998..^100), klar? |
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| 09.09.2004, 19:19 | Soulmate | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
0,98797604% einer vorhandenen Stoffmenge zerfallen jeweils in 100 Jahren. ist das richtig und ist somit die aufgabe endlich gelöst? |
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| 09.09.2004, 19:33 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
du hast noch das 0,98798 fache der Grundmenge. Also hast du noch 98,798 % über. D.h. es sind 1,2 % zerfallen. |
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| 09.09.2004, 19:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Prozentzahl ergibt sich nicht von vornherein! 0,987 ist der Multiplikator, der bei c steht, also ist nach 100 Jahren noch das 0,987-fache des Stoffes vorhanden. DARAUS musst du nun den Prozentsatz des noch vorhandenen Stoffes und damit gleichzeitig auch den der bereits zerfallenen Mange berechnen! Übrigens, es sind nicht 0,98798.c, sondern 0,9872.c, also sind rd. 1,3% zerfallen (nicht 1,2%). Deswegen muss man mit möglichst allen verfügbaren Nachkommastellen rechnen und nicht vorher schon runden. |
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| 09.09.2004, 19:38 | Soulmate | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
und wie berechne ich das? |
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| 09.09.2004, 19:40 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das 0,987-fache sind 98,7%, das von 100% subtrahieren! |
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| 09.09.2004, 19:43 | Soulmate | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
okay. Also nochmal: 1,2% einer vorhandenen Stoffmenge zerfallen jeweils in 100 Jahren. Dann müsste die Aufgabe jetzt hoffentlich endlich erledigt sein. |
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| 09.09.2004, 19:49 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jop. Die Zahlen sind aber weniger wichtigl Wirklich wichtig ist das du verstanden hast, was da gemacht wurde. Sei mir nicht böse aber danach siehts nicht gerade aus. Also üb noch ein etwas. Liebe Grüße |
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