Aus Verteilungsfunktion Zähldichte folgern

25.09.2022, 17:36

HiBee123

Aus Verteilungsfunktion Zähldichte folgern

Hallöchen

,

Wir haben eine Verteilungsfunktion gegeben
$\begin{eqnarray*} F(x)=\left\{\begin{array}{ll111} 0, & x<0 \\ \frac{1}{5}, & 0\leq x <1\\\frac{1}{2}, & 1\leq x <2\\\frac{9}{10}, & 2\leq x <4\\1, & x\geq4\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

und nun gilt es die Zähldichte p zu bestimmen.

Meine Idee:
ablesen?
p(0)=1/5
p(1)=3/10
p(2)=4/10
p(4)=1/10

Kann ich so vorgehen, oder ist hier ein Fehler drin?

Grüße,
Eure HiBee

25.09.2022, 17:49

IfindU

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Stimmt so. Ist leider so langweilig Augenzwinkern

Edit: Du kannst ja Rückwärts die Verteilungsfunktion aus deiner Dichte berechnen (als Probe).

25.09.2022, 17:59

HiBee123

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okay cool danke smile

Ich versteh so langsam die Zusammenhänge... auch wenn ich die Praktikabilität dahinter teilweise noch nicht so recht durchschaue.

Für mich ist teilweise, ich glaub mein Prof hat das so genannt, "abstract nonsense"... auch wenn es natürlich Spaß macht...

25.09.2022, 19:47

IfindU

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Um meinen Vorschlag mal durchzuführen: Es ist $\begin{eqnarray*} F(x) = \sum_{k=-\infty}^{\lfloor x \rfloor } p(k) \end{eqnarray*}$ , wobei ich $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ außer von dir identifizierten Werten mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ definiere.

25.09.2022, 20:02

HiBee123

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Ja genau und dann kommt man genau auf die Verteilungsfunktion vom Anfang... die einzige Frage, die offen bleibt, ist die Dichtefunktion eindeutig oder gibt es noch irgendwelche obskuren Funktionen, wo man zufälligerweise auf die gleiche Verteilungsfunktion kommt?

Ich würde sagen offensichtlich nicht... aber das ist natürlich kein Beweis...
unglücklich

25.09.2022, 20:05

IfindU

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Die Dichtefunktion, sofern sie existiert, ist bis auf Nullmengen eindeutig. Hier ist das Maß das Zählmaß und die einzige Nullmenge ist die leere Menge. D.h. in diesem Fall haben wir Eindeutigkeit!

25.09.2022, 20:08

Helferlein

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Ich vermisse da noch ein $\begin{eqnarray*} p(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \not \in \{0, 1, 2, 4\} \end{eqnarray*}$

25.09.2022, 20:10

IfindU

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Zitat:

Original von Helferlein
Ich vermisse da noch ein $\begin{eqnarray*} p(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \not \in \{0, 1, 2, 4\} \end{eqnarray*}$

Das meinte ich mit

Zitat:

Original von IfindU
Um meinen Vorschlag mal durchzuführen: Es ist $\begin{eqnarray*} F(x) = \sum_{k=-\infty}^{\lfloor x \rfloor } p(k) \end{eqnarray*}$ , wobei ich $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ außer von dir identifizierten Werten mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ definiere.

Es war wohl leider unklar was ich meinte, daher danke für die Klarstellung @Helferlein!

25.09.2022, 20:12

HiBee123

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Zitat:

Original von IfindU
wobei ich $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ außer von dir identifizierten Werten mit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ definiere.

hatte er eigentlich hier erwähnt...

25.09.2022, 20:17

Helferlein

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Hatte er, aber in deiner Lösung stand es nicht explizieren, daher meine Anmerkung.
Vielleicht hätte ich zitieren sollen.

25.09.2022, 20:21

HiBee123

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Ach so, das meinst du! Freude

Hast Recht in meiner Lösung fehlt noch dass p(x)=0 für alle x außer
0,1,2 und 4.

26.09.2022, 09:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Helferlein
Ich vermisse da noch ein $\begin{eqnarray*} p(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \not \in \{0, 1, 2, 4\} \end{eqnarray*}$

Naja, kommt drauf an:

Eine Dichte ist ja stets eine Radon-Nikodym-Dichte bzgl. eines sigma-endlichen Referenzmaßes. Bei stetigen Zufallsgrößen ist dies das Lebesguemaß, bei Anzahlzufallsgrößen i.d.R. das Zählmaß auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ .

Bei anderen diskreten Zufallsgrößen, die etwa auch bestimmte nichtganzzahlige Werte annehmen können, sind das dann Zählmaße auf anderen, angepassten höchstens abzählbaren Mengen, denn das Zählmaß auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist nicht sigma-endlich. Eine stillschweigende Übereinkunft bei diskreten Dichten kann nun sein, dass das Referenzmaß das Zählmaß auf genau derjenigen höchstens abzählbaren Menge von Werten ist, für die da überhaupt Dichtewerte genannt werden. Ein explizites " $\begin{eqnarray*} p(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle anderen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ " wäre in dem Fall dann gar nicht nötig. Augenzwinkern

26.09.2022, 10:37

Leopold

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Ein wenig Nachdenken über das Ganze.

Mir drängt sich in diesem Zusammenhang der Vergleich mit Bourbaki auf. Dieser hat versucht, die gesamte Mathematik aus allgemeinen Prinzipien aufzubauen. Wenn ich es polemisch sagen will: Das mathematische Universum entsteht mit Bourbakischem Urknall aus der leeren Menge. Zu zeigen, daß so etwas möglich ist, ist der geniale Gedanke und die Leistung von Bourbaki. Aber kein vernünftiger Pädagoge würde jemals Mathematik nach Bourbaki unterrichten. Man kann einem Kind, das seine ersten Zahlerfahrungen macht, wohl kaum mit topologischen Räumen kommen, weil diese vielleicht im logischen Aufbau den natürlichen Zahlen übergeordnet sind. Anscheinend leidet die französische Mathematikausbildung an Schule und Universität bis heute unter dem Bourbaki-Virus.
Ähnlich sehe ich es in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Man hat hier etwa die endlichen Verteilungen, die unendlich-diskreten Verteilungen und die stetigen Verteilungen (und vermutlich weitere, die sich mir als Laien entziehen). Zunächst scheinen das verschiedene Wahrscheinlichkeitsbegriffe zu sein. Die Leistung der Maßtheorie mit ihren Mengensystemen, ihren Maßen und Dichten, ist es, daß sie zeigt, daß sich diese verschiedenen Begriffe einem gemeinsamen System unterordnen. Irgendwann in meinem Studium habe ich das mal begriffen, danach aber die Details wieder vergessen. In einem naiven Sinn scheint das auch unmittelbar klar: auf der einen Seite Zahlen und endliche Summen oder unendliche Reihen, auf der anderen Flächen und Integrale. Dieses naive Verständnis in eine korrekte, stringente und einem klaren logischen Aufbau folgende Struktur zu bringen, ist meiner Ansicht nach die eigentliche Leistung der Maßtheorie. Wenn man aber konkret Wahrscheinlichkeitsrechnung betreibt, wird man am Ende doch wieder bei den getrennten Systemen der diskreten und stetigen Verteilungen landen. Alles andere erschiene mir aufgesetzt und gesucht. Aber vielleicht ernte ich mit dieser Ansicht gleich heftigen Widerspruch von unserem HAL. Augenzwinkern

26.09.2022, 10:43

HAL 9000

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Kein Widerspruch. Ich wollte nur anregen darüber nachzudenken, was die Angabe einer diskreten Dichtefunktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ überhaupt bedeutet.

Außerdem ist mir aus den anderen Threads von HiBee123 bekannt, dass sie durchaus mit Maßtheorie vertraut ist.

26.09.2022, 18:29

HiBee123

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hehe,

ja noch nicht so gut, wie ich gern hätte, aber die Basics kann ich schon..

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