Quadrieren

27.09.2022, 10:17

vanix9423

Quadrieren

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = -1 \end{eqnarray*}$

Ich habe eine Frage zum Lösen von Gleichungen.

Wieso darf man hier nicht quadrieren? Wenn man doch quadriert, erhält man doch folgende Lösung, was ja falsch ist, da der Radikant stehtspositiv sein muss.

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

In welchen Fällen würde das Quadrieren kein Problem darstellen? Und wieso?

Danke, liebe grüße.

27.09.2022, 10:28

G270922

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RE: Quadrieren
Quadrieren ist KEINE Äquivalenzumformung.
Es kann zu Scheinlösungen kommen.

Wurzeln aus reellen Zahlen können nicht negativ werden.

Aus negativen reellen Zahlen kann man keine Quadrat-Wurzel ziehen.

Nur im Komplexen gilt: Wurzel aus -1 = i (imaginäre Zahl).

Mach die Probe!

27.09.2022, 10:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von vanix9423
In welchen Fällen würde das Quadrieren kein Problem darstellen?

Wenn gesichert ist, dass auf beiden Gleichungsseiten nichtnegative Zahlen stehen ODER auf beiden Seiten nichtpositive Zahlen, dann ist Quadrieren eine äquivalente Umformung: Denn die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ist zwar mit Definitionssmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ KEINE injektive Funktion, bei Einschränkung auf Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ oder aber $\begin{eqnarray*} (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ dann aber doch.

Im vorliegenden Fall wissen wir aber von vornherein $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}\geq 0 \end{eqnarray*}$ , und das kann niemals gleich dem negativen Wert -1 sein.

28.09.2022, 09:28

qettqe

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Danke HAL9000!

Könnten Sie auf dieses Beispiel eingehen, wenn ich Sie richtig verstanden habe, wäre das ein legitimes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} x = x^2 \Leftrightarrow x_1 = 0 \ \ \text{oder} \ \ x_2 = 1 \end{eqnarray*}$

Somit überprüfe ich stets beide Seiten und gucke, ob diese positiv sind. Jetzt verstehe ich auch, wieso bei e-Funktionen manchmal quadriert wurde.

28.09.2022, 12:11

G0220922

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x=x^2

x^2-x = 0

pq-Formel:

$\begin{eqnarray*} 0,5+- \sqrt{0,25-0} \end{eqnarray*}$

x1= 1
x2= 0

28.09.2022, 16:56

mYthos

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Dazu ist nicht unbedingt eine Formel nötig.
Dies kann mit dem Satz vom Nullprodukt* erledigt werden, welcher auch in der Schulmathematik bekannt ist (sein sollte) Big Laugh

:

$\begin{eqnarray*} x^2 - x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x (x - 1) = 0 \end{eqnarray*}$

(*) Wenn das Produkt zweier (oder mehrerer Faktoren Null ist, so muss mindestens ein Faktor Null sein.

Natürlich können auch mehrere Faktoren Null sein. Daher ist jeder einzelne Faktor zu testen, ob er Null ist bzw. zu Null werden kann.

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1) \ x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ x - 1 = 0 \ \to \ x = 1 \end{eqnarray*}$
--------------------------------------

Lösungsmenge: $\begin{eqnarray*} L = \{x | \ x = 0 \vee x = 1\} \end{eqnarray*}$

mY+

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