Minenfeld

29.09.2022, 14:49

Dopap

Minenfeld

1.)Längs eines Flusses zum Meer behindert den "punktförmigen" Fischer ein quadratisches Sperrgebiet, das er gerne entlang der Diagonalen durchqueren würde, was der kürzeste Weg wäre.

Leider ist jeder rationale innere Punkt eine Mine.

Gesucht ist nun ein Weg oder stetige Funktion die keine rationalen Punkte enthält und dabei die Endpunkte der Diagonalen verbindet.

2.) Da sein Umweg jedesmal 2.0 beträgt wäre es ihm lieb, wenn dieser neue Weg die Länge 1.5 unterschreiten könnte.

29.09.2022, 15:05

IfindU

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RE: Minenfeld
Was ist ein rationaler Punkt in dem Kontext? Beide Koordinaten sind rational oder genügt eine Koordinate?

Wenn es die erste Interpretation ist, kann man beliebig nahe an die Diagonale $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ kommen.

29.09.2022, 15:57

HAL 9000

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So irgendwie ziemlich langweilig. Ich würde noch eine weitere Forderung stellen, z.B. dass die Weglänge rational ist.

Z.B. erfüllt das der Streckenzug $\begin{eqnarray*} (0,0) \to \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{48},\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{48}\right) \to (1,1) \end{eqnarray*}$ mit Gesamtlänge $\begin{eqnarray*} \frac{17}{12} = 1.41\overline{6} \end{eqnarray*}$ .

30.09.2022, 16:37

Dopap

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o.k.
das mit dem abknickenden Weg war auch meine Idee, wollte aber anderen Ideen nicht vorgreifen.

30.09.2022, 17:04

IfindU

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Zitat:

Original von HAL 9000
So irgendwie ziemlich langweilig. Ich würde noch eine weitere Forderung stellen, z.B. dass die Weglänge rational ist.

Z.B. erfüllt das der Streckenzug $\begin{eqnarray*} (0,0) \to \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{48},\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{48}\right) \to (1,1) \end{eqnarray*}$ mit Gesamtlänge $\begin{eqnarray*} \frac{17}{12} = 1.41\overline{6} \end{eqnarray*}$ .

Ich hatte es ähnlich vor, bloss mit $\begin{eqnarray*} (0,0) \to (\epsilon ,0) \to (1, 1-\epsilon) \to (1,1) \end{eqnarray*}$ . So war mir wenigstens sofort klar, dass $\begin{eqnarray*} t \mapsto (\epsilon +t , t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ irrational nie rationale Punkte beinhaltet.

30.09.2022, 17:21

HAL 9000

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Ja, bei mir ist es ja nur deshalb so kompliziert, weil ich die rationale Gesamtlänge erzwingen wolllte. Augenzwinkern

12.10.2022, 19:30

Dopap

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zusätzlich schrammt die Weglänge schon knapp am Minimum vorbei.

13.10.2022, 13:35

HAL 9000

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Weitere solche rationalen Weglängen-Lösungen kann man so gewinnen: Man betrachte die über $\begin{eqnarray*} p_n\pm \sqrt{2}q_n = \left(1\pm \sqrt{2}\right)^{2n} \end{eqnarray*}$ gewonnenen rationalen Näherungsbrüche $\begin{eqnarray*} \frac{p_n}{q_n} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , für alle die gilt $\begin{eqnarray*} p_n^2 - 2q_n^2 = 1 \end{eqnarray*}$ .

Nehmen wir nun den Weg $\begin{eqnarray*} (0,0) \to \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4q_n}, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4q_n}\right) \to (1,1) \end{eqnarray*}$ , so hat der die Gesamtlänge

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4q_n}\right)^2 + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4q_n}\right)^2} = \sqrt{2 + \frac{1}{q_n^2}} \stackrel{!}{=} \frac{p_n}{q_n} \end{eqnarray*}$ .

Die ersten dieser Näherungsbrüche $\begin{eqnarray*} \frac{p_n}{q_n} \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2},\frac{17}{12},\frac{99}{70},\frac{577}{408},\frac{3363}{2378},\ldots \end{eqnarray*}$ .

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