Vektor prozentual auf x, y und z aufteilen

30.09.2022, 14:09

Physinetz

Vektor prozentual auf x, y und z aufteilen

Hallo zusammen,

ich habe einen zeitlich veränderlichen Beschleunigungsvektor:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass dieser Vektor einen Kraftvektor hervorruft, der einen Winkel von $\begin{eqnarray*} \alpha=10° \end{eqnarray*}$
hevorruft. Hat jemand eine Idee, wie ich diesen Winkel auf die beiden Komponenten y und z Verteilen kann?

Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ entspricht dann 5° in x und 5° in z.

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ebenfalls dann 5° in x und 5° in z.

$\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann x° in x und x° in z.

Sollte ich das einfach prozentual machen oder habt ihr eine alternative im Kopf?

Danke und Grüße
Physi

30.09.2022, 14:20

mYthos

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Der Winkel - wogegen wird er gemessen?

Zu einem Vektor gibt es die Richtungs-Cosinus jeweils gegen die 3 Achsen.
Natürlich kann man auch die Winkel jeweils gegen die 3 Koordinatenebenen nehmen.

mY+

01.10.2022, 11:30

Physinetz

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Hallo Mythos,

Stellen wir uns ein Flugzeugtriebwerk vor. Ich weiß dort das der Schubvektor maximal um 10° in eine beliebige Richtung gegenüber der x Achse (zeigt in Flugrichtung bzw Triebwerkseinbaurichtung) bzw xy oder der xz Ebene geneigt sein kann.

Nun benötige ich die Winkelanteile in die einzelne Ebene sodass weiterhin effektiv maximal 10° Winkel aufgebaut werde .

Und das soll je nach der Beschleunigung aufgeteilt werden, verständlich?

02.10.2022, 10:54

mYthos

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Mit dem Vektor a = (0; y; z) geht das nicht, denn dieser hat gegen die x-Achse (1; 0; 0) immer einen Winkel von 90°.

Allgemein gilt für den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eines Vektors $\begin{eqnarray*} \vec a = (a_1; a_2; a_3) \end{eqnarray*}$ gegen die x-Achse:

$\begin{eqnarray*} \cos \alpha = \frac {a_1} {\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}} \end{eqnarray*}$

Für alle möglichen Vektoren, die nun gegen de x-Achse einen bestimmten Winkel einschließen, ergibt sich eine Kombination dessen Koordinaten, die die obige Beziehung erfüllen.

Um deren Vielfalt einzuschränken, kann man sich auch nur auf den Einheitsvektor beziehen.

Die Winkel gegen die Koordinatenebenen sind dann z.B. durch

$\begin{eqnarray*} \tan \alpha_{xy} = \frac{a_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \text{ oder }\sin \alpha_{xy} = \frac {a_3} {|\vec a|} \end{eqnarray*}$

zu ermitteln.
Eine prozentuale Aufteilung wird wohl erst dann möglich, wenn für den Vektor konkrete Werte bekannt sind.

mY+

06.10.2022, 13:31

Physinetz

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Hallo Mythos,

vielleicht kann ich das Problem nochmal genauer beschreiben:

Ausgangslage:
Ich habe wie beschrieben einen Beschleunigungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\begin{pmatrix} 0 \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Beschleunigung wird durch einen Kraftvektor hervorgerufen, der erstmal nur eine x-Komponente hat:
$\begin{eqnarray*} \vec{F}=\begin{pmatrix} F_x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nun, dass dieser Kraftvektor um 10° gedreht werden soll, damit die Beschleunigung hervorgerufen wird.

Maximal sind 10° möglich, d.h. z.B. 3° gegenüber der x-z Ebene und 7° gegenüber x-y Ebene.

Letztlich erhalte ich dann etwas in der Art:
$\begin{eqnarray*} \vec{F}=\begin{pmatrix} F_x*cos(80°) \\ F_x*sin(3°) \\ F_x*sin(7°) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1) Hier meine erste Frage: Also im 2 dimensionalen habe ich kein Problem eine x und y Komponente eines Vektors mit sin und cos zu bestimmen. Stimmt meine Aufteilung für den 3-D Fall also die y und z Komponente für F_x ?

2) Ich muss nun irgendwie den Übergang vom Beschleunigungsvektor auf die Aufteilung der 10° erhalten: Sollte ich hierfür so eine Art prozentuale Länge berechnen über den Betrag des Beschleunigungsvektors z.B.:

$\begin{eqnarray*} \frac {a_y} {\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}*10°=3° \end{eqnarray*}$

bzw.
$\begin{eqnarray*} \frac {a_z} {\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}*10°=7° \end{eqnarray*}$

Kann so etwas funktionieren?

Danke Mythos!

06.10.2022, 23:17

mYthos

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Zitat:

Original von Physinetz
...
Die Beschleunigung wird durch einen Kraftvektor hervorgerufen, der erstmal nur eine x-Komponente hat:
$\begin{eqnarray*} \vec{F}=\begin{pmatrix} F_x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
...

Also ist $\begin{eqnarray*} \vec{F}=F_x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zunächst möchte ich auf deine etwas mysteriöse Addition der Winkel eingehen.
Wenn ein Vektor mit der xy-Ebene einen Winkel von 7° und mit der xz-Ebene 3° einschließt, kann man diese beiden Winkel NICHT zu 10° addieren, weil diese nicht in einer Ebene liegen.
Deswegen ist auch die Addition von 80° zu 7° + 3° = 90° unzulässig.
Der tatsächliche Winkel gegen die dritte Ebene ist in diesem Fall rund 82.4°, denn bei Annahme von (Betrag) Fx = 1 muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \sin^2 7° + \sin^2 3° + \sin^2 \alpha_3 = 1 \end{eqnarray*}$

Und damit kann $\begin{eqnarray*} \alpha_3 \end{eqnarray*}$ nicht 80° sein.
Außerdem verstehe ich nicht, weshalb die erste Komponente $\begin{eqnarray*} F_x \cos(80°) \end{eqnarray*}$ sein soll, da muss ebenfalls der Sinus hin.

mY+

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