La Place

30.09.2022, 15:39

fragemeister

La Place

Meine Frage:
In einer Schale liegen 20 Bonbons, 8 mit Erdbeer- (E), 8 mit Zitronen- (Z) und 4 mit Kirschgeschmack (K). Da sie jeweils mit dem gleichen Papier eingewickelt sind, kann man sie nicht unterscheiden. Der Fruchtgeschmack wird dadurch festgestellt, dass man das Bonbon isst.
Jemand isst zwei Bonbons hintereinander.
Nehmen Sie zu folgender Aussage begründet Stellung:
?Das Expermiment ist kein Laplace-Versuch, weil, sich die Anzahl der Erdebeer, Zitronen-, und Kirschbonbons voneinander unterscheidet.?
Sollte diese Aussage zutreffend sein, erläutern sie, wie man den Versuch abändern müsste, damit ein Laplace-Versuch entsteht.

Meine Ideen:
Die Aussage ist erstmal korrekt, da die Anzahl der Bonbons gleich sein müsste, damit die Wkt. gleichverteilt ist.
Also müssten man wenn man nur einmal zieht einfach nur eine gleiche Anzahl an Bonsbons ändern.
Oder muss man sagen , sie ist nur dann korrekt wenn einmal gezogen wird. Für zweimaliges Ziehen kann es niemals ein Laplace Experiment sein.
Da man aber zweimal zieht, ändert sich ja nach dem ersten Zug erneut die Anzahl und daher wäre es kein Laplace mehr.

Experimente ohne Zurücklegen sind dann doch eigentlich niemals LaPlace Experimente oder?

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

30.09.2022, 16:26

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: La Place
Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem die unterschiedlichen Elementarereignisse alle gleich wahrscheinlich sind, d.h. die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

https://de.serlo.org/mathe/1755/laplace-experiment

Es müsste zurückgelegt werden.

30.09.2022, 17:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch für dieses Experiment "ohne Zurücklegen" findet sich ein passender Laplaceraum der Größe $\begin{eqnarray*} |\Omega| = 20\cdot 19 \end{eqnarray*}$ . Naheliegenderweise kann der so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ (\omega_1,\omega_2)\in G^2\mid \omega_1\neq \omega_2\right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G= \left\{ e_1,\ldots,e_8,z_1,\ldots,z_8,k_1,\ldots,k_4\right\} \end{eqnarray*}$ .

02.10.2022, 08:39

fragemeister3

Auf diesen Beitrag antworten »

Das verwirrt mich jetzt.

Ist es nun Laplace oder nicht?

Setzt die Antwort von HAL9000 nicht voraus, das man nach dem zweiten Zug wieder alle zurücklegt und dass man genau unterscheidet welches Erdbeerbonbon man zieht?

Wenn es aber doch nur um die Sort geht sind sie doch nicht gleich warhscheinlich --> also kein Laplace oder?

02.10.2022, 09:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt i.a. nicht nur DIE EINE Möglichkeit, einen zu einem Wahrscheinlichkeitsexperiment passenden W-Raum zu modellieren, sondern mehrere. Ich hab eine genannt, die Laplacesch ist.

Natürlich kannst du auch einen anderen Grundraum wählen, etwa

$\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ \mbox{Erdbeer}, \mbox{Zitrone}, \mbox{Kirsche}\right\}^2 \end{eqnarray*}$

der ist dann im vorliegenden Fall sicher nicht Laplacesch.

Zitat:

Original von fragemeister3

Setzt die Antwort von HAL9000 nicht voraus, das man nach dem zweiten Zug wieder alle zurücklegt

Das ist doch komplett irrelevant, was NACH dem zweiten Zug geschieht - hier geht es doch nur um das zweimalige Ziehen, und nichts darüber hinaus. unglücklich

Wenn du partout auch noch immer weiter ohne Zurücklegen ziehen willst - von mir aus bis alle 20 Bonbons gezogen sind - dann wähle als Grundraum den der 20! Permutationen aller 20 Bonbons aus $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

02.10.2022, 11:15

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist nicht sinnvoll gestellt, es sei denn, es ist beabsichtigt, zum Nachdenken anzuregen und die Tatsache, daß sie nicht sinnvoll gestellt ist, als "Lösung" herauszuarbeiten. Ein Wahrscheinlichkeitsexperiment führt seine Modellierung nicht mit sich. Diese Modellierung ist ein kreativer Akt des Lösenden. Und je nachdem, wie er es anpackt, ist das Modell ein Laplace-Raum oder nicht. Wenn daher in einer Aufgabe gefragt wird, ob ein Modell ein Laplace-Raum ist, muß dieses Modell vorher entweder explizit oder doch so naheliegend, daß man es sich kaum mehr anders vorstellen kann, vorgegeben werden.
Richtig ist auf der andern Seite aber auch, daß Wahrscheinlichkeitsexperimenten mit endlich vielen Ausgängen in neunundneunzig Prozent der Fälle ein im Hintergrund agierender Ur-Laplace-Raum zugrunde liegt. Stellen wir uns eine Urne mit 20 Kugeln vor, 8 davon rot, 8 gelb und 4 schwarz. (Wie komme ich nur auf diese Zahlen?). Wenn wir nun einmal ohne hinzusehen ziehen, so können wir entweder eine rote (r), eine gelbe (g) oder eine schwarze (s) Kugel ziehen. Wir könnten daher das folgende Modell bilden:

$\begin{align*} \Omega = \{ \text{r} , \text{g}, \text{s} \} \ \ \text{mit} \ \ P(\text{r}) = \frac{8}{20} \, , \ P(\text{g}) = \frac{8}{20} \, , \ P(\text{s}) = \frac{4}{20} \end{align*}$

Aber wie kommen wir auf diese Zahlen? Offenbar haben wir im Hintergrund einen Ur-Laplace-Raum mit 20 Ausgängen laufen. Jede der 20 Kugeln bekommt ihre eigene Identität. Nummerieren wir daher die Kugeln von 1 bis 20, so daß zunächst die roten, dann die gelben, dann die schwarzen an die Reihe kommen:

$\begin{align*} \Omega' = \left\{ \underbrace{1,2,3,4,5,6,7,8}_{\text{rot}}; \underbrace{9,10,11,12,13,14,15,16}_{\text{gelb}}; \underbrace{17,18,19,20}_{\text{schwarz}} \right\} \end{align*}$

In diesem Laplace-Raum gibt es die Ereignisse

$\begin{align*} R = \text{''rot''} = \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \end{align*}$

$\begin{align*} G = \text{''gelb''} = \{9,10,11,12,13,14,15,16\} \end{align*}$

$\begin{align*} S = \text{''schwarz''} = \{17,18,19,20\} \end{align*}$

und nach der Laplace-Regel folgt:

$\begin{align*} P'(R) = \frac{\left| R \right|}{\left| \Omega \right|} = \frac{8}{20} \, , \ \ P'(G) = \frac{\left| G \right|}{\left| \Omega \right|} = \frac{8}{20} \, , \ \ P'(S) = \frac{\left| S \right|}{\left| \Omega \right|} = \frac{4}{20} \end{align*}$

Aus diesen Ereignissen werden durch "Komprimierung" die Ausgänge r, g, s mit ihren Wahrscheinlichkeiten von vorhin. Und wie man das zweimalige Ziehen ohne Zurücklegen als Laplace-Raum modellieren kann, hat HAL bereits beschrieben.

Sollte dir das alles etwas unheimlich vorkommen, so darfst du dich damit trösten, daß diese Fundierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Modellbildung alles andere als trivial sind. Auch viele Lehrer verstehen es nicht wirklich. Wenn man mit gesundem Menschenverstand herangeht und "naiv" rechnet, kann man dennoch weit kommen.

Neue Frage »

Antworten »

La Place

Verwandte Themen