Beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar |
| 30.09.2022, 22:48 | oiun345 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar Beweise n^3-n ist durch 6 teilbar. n >=0 Meine Ideen: also ich mache es mit induktion. In.Anfang: 0^3-0 = 0, ist durch 6 teilbar IV: n^3-n soll durch 6 teilbar sein Zu zeigen: (n+1)^3 - (n+1) ist durch 6 teilbar. Beweis: (n+1)(n^2+2n+1) - (n+1) = n^3 + 2n^2 + n + n^2 + 2n + 1 -(n+1)= = n^3 + 3n^2 + 3n +1 - (n+1) = (n^3-n) + 3n^2+ 3n = (n^3-n) + 6([n^2/2]+n/2). ich habe halt in lösungen gesehen, dass sie ein bisschen anders machen. ist meine lösung trotzdem wichtig? weil erster term ist sowieso durch 6 es ist ja IV, und zweiter ist ein ganzzahliges vielfaches von 6. lg |
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| 30.09.2022, 23:11 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar Ich werfe gleich noch einen Bliclk auf die Induktion. Vorab sehe ich aber, dass Und das ist 0 für oder . Für ist es das Produkt aus 3 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen und ... |
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| 30.09.2022, 23:31 | oiuzh98 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar und wieso ist jetzt meine lösung nicht richtig?der rechte term wird ja immer durch 6 teilbar sein. sry wenn eine blöde frage, ich habe erst heute die induktion angefangen |
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| 30.09.2022, 23:33 | lkj356 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar ich bekomme halt das es wahr ist wenn n=1. muss ich jetzt eine annahme machen, dass es wahr ist, für n = k, und dass dan n^3-n = 6*k, wobei ein k existiert und k ein element von naturlichen zahlen ist? war meine annahme falsch?? |
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| 30.09.2022, 23:38 | lkj134 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar ich sehe jetzt ich habe es falsch geschrieben. ic habe gemeint. wenn meine annahme ist dass jetzt n=k ist . und k^3 - k = 6*p, wobei p existiert und p ein element der natürlichen zahlen ist. muss so meine annahme sein? |
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| 30.09.2022, 23:42 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar Ich habe nicht gesagt, dass Deine Lösung nicht richtig ist. Die Umformungen sind in Ordnung, Nur die 6 vor der Klammer allein würde mir noch nicht genügen, um die Teilbarkeit durch 6 zu begründen. Nach meiner Auffassung müßte man schon noch ein Wort darüber verlieren, dass auch tatsächlich ganzzahlig ist. |
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| 30.09.2022, 23:51 | jihj124 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar kann ich also noch jetzt beweisen, dass 1/2(n^2+n) durch 2 teilbar ist, und dann würde das reichen? also halt muss ich 2mal die induktion machen? |
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| 30.09.2022, 23:53 | jihj124 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar okay. ist es dann beser lieber eine andere methode zu verwenden? oder muss ich jetzt noch zeigen, dass diese beide terme ganzzahlig sind? |
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| 01.10.2022, 00:03 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar Dafür ist jetzt keine zweite Induktion oder anderer großer Aufwand nötig. Es genügt zu begründen, dass immer geradzahlig und damit durch 2 teilbar ist. Das wiederum führt auf die Frage, wann das Quadrat in Abhängigkeit von geradzahlig oder ungeradzahlig ist. Mal kurz drüber nachdenken. |
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| 01.10.2022, 00:29 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar Alternativ, wenn man die Information hat, könnte man auch heranziehen. |
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| 01.10.2022, 00:44 | lkj1356 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar also wenn ich den term so schreibe: 3(n^2+n) sieht man, dass er immer durch 3 teilbar ist. jetzt muss ich nur noch argumentieren, dass der innere term immer durch 2 teilbar ist.und weil es ja 6=3*2 wird es dann insgesamt durch 6 teilbar. also: wenn n gerade ist: ist der quadrat auch gerade und insgesamt dann der innere term durch 2 teilbar. wenn n ungerade ist, ist der quadrat auch ungerade, jedoch durch addieren einer ungeraden zahl mit einer ungeraden kommt immer eine gerade und somit ist der innere term auch wieder durch 2 teilbar. kann man das so argumentieren? |
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| 01.10.2022, 00:49 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar Ich wäre damit voll zufrieden. 
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| 01.10.2022, 00:54 | kj35135 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar einfacher wäre es auch 3n(n+1) und somit ist entweder n gerade, oder die darauf folgende zahl n+1, und somit ist die zahl durch 2 , durch 3 und endlich auch durch 6 teilbar. danke für die hilfe 
ich gehe jetzt schlafen. gute nacht! |
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| 01.10.2022, 01:02 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar Richtig. Damit wäre auch der Bezug zu meiner ersten Antwort hergestellt. Gute Nacht. |
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| 01.10.2022, 01:19 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: beweis: n^3-n ist durch 6 teilbar
Meiner Ansicht nach ist das schon der Schlüssel zum Beweis und man kann alle anderen Überlegungen hier getrost schon vergessen. Denn von den 3 aufeinanderfolgenden Faktoren ist immer einer (bzw. mindestens einer) durch 2 teilbar und daneben auch einer durch 3 (es liegt nämlich genau einer in der Restklasse 0 mod 3) mY+ |
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| 01.10.2022, 09:55 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder so: |
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| 01.10.2022, 13:28 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht schlecht!
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