Pferderennen mit 25 Pferden

01.10.2022, 10:21

Ulrich Ruhnau

Pferderennen mit 25 Pferden

Um von 25 Pferden das schnellste zu ermitteln, werden die Pferde in 5 Gruppen zu je 5 Pferden aufgeteilt. In jeder Gruppe gibt es ein Rennen mit einer Platzierung. Um statistische Schwankungen in der Laufgeschwindigkeit nicht berücksichtigen zu müssen, setzen wir der Einfachheit halber voraus, daß es diese nicht gibt. Auch seien die 25 Pferde unterschiedlich schnell. Dann reicht natürlich ein weiteres Rennen unter den 5 erstplatzierten Pferden aus, um das schnellste Pferd unter den 25 zu ermitteln. Meine Frage ist nun: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eines der zweitplatzierten Pferde aus den ersten 5 Rennen zu den schlechtesten $\begin{eqnarray*} j=7 \end{eqnarray*}$ Pferden gehört?

Meine Überlegungen:
Ich schätze, daß es hier um eine Ordnungsstatistik geht.
Ich würde mir zuerst die Frage stellen:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Pferd, das im ersten Vergleich Platz m belegt hat, das k-schnellste Pferd unter den 25?
Nun, ich weiß, das das erstplatzierte Pferd einer Gruppe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} \frac 15 \end{eqnarray*}$ das schnellste ( $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ ) ist, also
$\begin{eqnarray*} p(m,k)=\frac 15 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ .
Aber ich bin mir einigermaßen sicher, daß $\begin{eqnarray*} p(1,1)>p(1,2) \end{eqnarray*}$ gilt. D.h. die Wahrscheinlichkeit, daß ein erstplatziertes Pferd nur das zweitschnellste unter den 25 ist, nur kleiner $\begin{eqnarray*} \frac 15 \end{eqnarray*}$ sein kann, weil $\begin{eqnarray*} p(1,k)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\in\{6,7,...,21\} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \Sigma p(1,k) =1 \end{eqnarray*}$ gilt.

01.10.2022, 11:11

HAL 9000

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Die umgekehrte Fragestellung ist wohl etwas einfacher, d.h.: Mit welcher Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} q(m,k) \end{eqnarray*}$ ist das insgesamt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -schnellste Pferd das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -schnellste in seiner Gruppe? Da kommt

$\begin{eqnarray*} q(m,k) = \frac{\binom{k-1}{m-1}\binom{25-k}{5-m}}{\binom{24}{4}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m=1,\ldots,5 \end{eqnarray*}$

gemäß Hypergeometrische Verteilung heraus. Mit etwas Überlegung bekommt man daraus dann auch dein $\begin{eqnarray*} p(m,k) \end{eqnarray*}$ heraus. Augenzwinkern

01.10.2022, 13:31

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} q(m,k) = \frac{\binom{k-1}{m-1}\binom{25-k}{5-m}}{\binom{24}{4}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m=1,\ldots,5 \end{eqnarray*}$

Danke HAL, für diesen Hinweis! Bis jetzt ist bei mir der Groschen noch nicht gefallen. Fangen wir mal mit dem Verständnis Deiner Formel an! Wenn ich das mit der Wiki-definition einer Hypergeometrischen Verteilung vergleiche, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} h(k;N;M;n)=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit ist, $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ Elemente haben davon die gesuchte Eigenschaft, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist der Stichprobenumfang und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist die Anzahl der Elemente der Stichprobe mit der gesuchten Eigenschaft.

Wenn ich beide Formeln so vergleiche, gehe ich davon aus, daß Du von einer Grundgesamtheit von $\begin{eqnarray*} 24 \end{eqnarray*}$ Pferden ausgehst, von denen eine Stichprobe von 4 Pferden genommen wird. Von den 24 Pferden haben $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ die gesuchte Eigenschaft. Und in der Stichprobe sind $\begin{eqnarray*} m-1 \end{eqnarray*}$ Pferde, die diese Eigenschaft haben. Also ich nehme jetzt das k-schnellste Pferd und betrache alle 24 anderen als Grundgesamtheit. Die 4 Pferde mit denen das k-schnellste Pferd in der Gruppe zusammen ist, zählen als Stichprobe. In dieser Stichprobe sind $\begin{eqnarray*} m-1 \end{eqnarray*}$ Pferde schneller, sodaß das k-schnellste Pferd dort nur auf Platz $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ kommt. Die gesuchte Eigenschaft heißt also "Schneller sein, als das k-schnellste Pferd". Also gibt Deine Hypergeometrische Verteilung an, mit welcher Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} m-1 \end{eqnarray*}$ Pferde sich in der Gruppe vor dem k-schnellsten platzieren werden.

Schön! Das habe ich jetzt soweit kapiert. Jetzt muß ich aber erst einmal über die restlichen Dinge nachdenken. verwirrt

01.10.2022, 14:35

HAL 9000

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Ja, das hast du soweit richtig erkannt.

Ich verrate schon mal das simpel erscheinende Ergebnis $\begin{eqnarray*} p(m,k) = \frac{1}{5}q(m,k) \end{eqnarray*}$ , für dessen Begründung man natürlich den richtigen Dreh finden muss. Augenzwinkern

01.10.2022, 15:02

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von HAL 9000
Mit etwas Überlegung bekommt man daraus dann auch dein $\begin{eqnarray*} p(m,k) \end{eqnarray*}$ heraus. Augenzwinkern

Da habe ich noch keinen Plan. Aber vielleicht kann man Regeln der bedingten Wahrscheinlichkeiten nutzen.

$\begin{eqnarray*} p(A\cap B)=p(A|B)\cdot p(B)=p(B|A)\cdot p(A) \end{eqnarray*}$

01.10.2022, 15:33

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} p(m,k) = \frac{1}{5}q(m,k) \end{eqnarray*}$ , für dessen Begründung man natürlich den richtigen Dreh finden muss. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} p(m,k) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Pferd, welches in der Gruppe auf Platz $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gekommen ist, das k-schnellste Pferd ist.

$\begin{eqnarray*} q(m,k) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit, daß das k-schnellste Pferd auf Platz $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ in der Gruppenwertung kommt.

Die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebiges Pferd aus den 25 das k-schnellste ist (Ereignis A), beträgt $\begin{eqnarray*} \frac 1{25} \end{eqnarray*}$ .
Die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebiges Pferd aus den 25 auf Platz $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ in der Gruppenwertung kommt (Ereignis B), beträgt $\begin{eqnarray*} \frac 15 \end{eqnarray*}$ .

Nach $\begin{eqnarray*} p(A\cap B)=p(A|B)\cdot p(B)=p(B|A)\cdot p(A) \end{eqnarray*}$ müßte eigentlich gelten:

$\begin{eqnarray*} p(m,k)\cdot \frac 15= q(m,k)\cdot \frac 1{25} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt HALs Formel für alle relevanten $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Schön! Augenzwinkern

01.10.2022, 17:53

Ulrich Ruhnau

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RE: Pferderennen mit 25 Pferden
Ich glaube, ich mache an dieser Stelle weiter, wobei ich noch festlegen muß, ob ich mindestens eines oder genau eines gemeint habe.

Zitat:

verbessertes Original von Ulrich Ruhnau
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eines der zweitplatzierten Pferde aus den ersten 5 Rennen zu den schlechtesten $\begin{eqnarray*} j=7 \end{eqnarray*}$ Pferden gehört?

Meine gesuchte Wahrscheinlichkeit P(j) ist jetzt näherungsweise

$\begin{eqnarray*} P(7)=1-\left(1-p(2,21)\right)^5 \left(1-p(2,20)\right)^5 \left(1-p(2,19)\right)^5 \end{eqnarray*}$

Vielleicht fällt mir noch etwas besseres ein. geschockt

Kann hier jemand etwas besseres anbieten?

01.10.2022, 18:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eines der zweitplatzierten Pferde aus den ersten 5 Rennen zu den schlechtesten $\begin{eqnarray*} j=7 \end{eqnarray*}$ Pferden gehört?

Das ist gleichbedeutend damit, dass vier oder sogar alle fünf Pferde einer Gruppe zu den letzten
sieben der Gesamtreihung gehören.

Betrachten wir diese Wahrscheinlichkeit zunächst für eine bestimmte Gruppe, dann geht das wieder mit hypergeometrischer Verteilung

$\begin{eqnarray*} p=\frac{\binom{7}{4}\binom{18}{1}+\binom{7}{5}\binom{18}{0}}{\binom{25}{5}} \end{eqnarray*}$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann einfach $\begin{eqnarray*} 5p = \frac{31}{506}\approx 0.0613 \end{eqnarray*}$ , denn dieses Ereignis kann nicht für zwei oder mehrere Gruppen zugleich eintreten wg. $\begin{eqnarray*} 2\cdot 4 > 7 \end{eqnarray*}$ . Bei j=8 sieht das aber dann schon anders aus...

02.10.2022, 12:28

Ulrich Ruhnau

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Danke HAL! smile

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