Erklärung für das Auf und Ab der Collatz-Reihen und 4 Regeln für die Umkehr der Collatz-Reihen

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iovialis Auf diesen Beitrag antworten »
Erklärung für das Auf und Ab der Collatz-Reihen und 4 Regeln für die Umkehr der Collatz-Reihen
Hallo zusammen! Mir wurde empfohlen, hier einmal einen Ansatz zum Verständnis der Collatz-Vermutung vorzustellen. Die Vermutung von Lothar Collatz (und anderen) zu folgenden Vorschriften:
    * Beginne mit irgendeiner natürlichen Zahl n > 0.
    * Ist n gerade, so nimm als nächstes n / 2.
    * Ist n ungerade, so nimm als nächstes 3n + 1.
    * Wiederhole die Vorgehensweise mit der erhaltenen Zahl.

lautet: Die Zahlenfolge mündet immer in den Zyklus 4, 2, 1, egal, mit welcher positiven natürlichen Zahl man beginnt.

Beobachtung: Es gibt für diese Vorschriften Zahlen, deren Zahlenfolge unterschiedlich oft Auf und Ab gehen, selbst wenn nur die ungeraden Zahlen betrachtet werden, aber immer in dem Zyklus 4-2-1 landen.

Erklärung für die Beobachtung: Das Verhalten dieses Auf und Ab lässt sich mittels binärer Darstellung von (3n+1)/2 erklären, wenn man n+(n+1)/2 schreibt:

Beispiel 27 (mod 4 = 3):

11011 (n= 27, mod 4 = 3)
+1110 (14, (n+1)/2, die zu addierende Zahl)
——————————
101001 (41, das Ergebnis, mod 4 = 1, ist größer als 27)

Nächste Iteration (mit 41 mod 4 =1):

101001 (n=41, mod 4 = 1)
+10101 (21, (n+1)/2, die zu addierende Zahl)
——————————
111110 (62)
halbieren: 11111 (31, das Ergebnis, mod 4 = 3, ist kleiner als 41)

Folgerung:
    * bei n mod 4 = 3 wächst das Netto-Ergebnis (eine Zahl solange geteilt durch 2 bis sie ungerade ist) solange, bis die Iteration eine Zahl mit mod 4 = 1 erreicht
    * bei n mod 4 = 1 sinkt das Netto-Ergebnis (eine Zahl solange geteilt durch 2 bis sie ungerade ist) solange, bis die Iteration eine Zahl mit mod 4 = 3 (oder die Zahl 1 wird) erreicht

Will man die Reihen der Collatz-Vermutung umdrehen, kann man folgende vier Regeln aufstellen:
  1. Jede Zahl n, die nach den Collatz-Regeln in der Schleife 4-2-1 endet, landet auch bei 4-2-1, wenn n mit 2 hoch x (x von 0 bis unendlich) multipliziert wird; da das Ergebnis gerade wird, kann entweder diese Regel wiederholt werden, oder, wenn das Ergebnis mod 6 = 4 ist, kann 1 abgezogen und das Ergebnis durch 3 geteilt werden (was zu einer ungeraden Zahl führt und wieder eine dieser Regeln anwendbar ist)
  2. Jede ungerade Zahl, die nach den Collatz-Regeln in der Schleife 4-2-1 endet, landet auch bei 4-2-1, wenn n mit 4 multipliziert und dessen Ergebnis mit 1 addiert wird; und weil das Ergebnis wieder eine ungerade Zahl ist, kann diese Regel oder Regel Nr. 1 angewandt werden, bzw. je nach dem, was mod 3 von dem Ergebnis ergibt, auch Regel 3 oder 4
  3. Jede ungerade Zahl mit n mod 3 = 2, die nach den Collatz-Regeln in der Schleife 4-2-1 endet, landet auch bei 4-2-1, wenn von n (n+1)/3 abgezogen wird; und weil das Ergebnis wieder eine ungerade Zahl ist, kann Regel Nr. 1 oder Nr. 2 angewandt werden, bzw. je nach dem, was mod 3 von dem Ergebnis ergibt, auch diese Regel oder Regel Nr. 4
  4. Jede ungerade Zahl mit n mod 3 = 1, die nach den Collatz-Regeln in der Schleife 4-2-1 endet, landet auch bei 4-2-1, wenn zu n (n-1)/3 addiert wird; und weil das Ergebnis wieder eine ungerade Zahl ist, kann Regel Nr. 1 oder Nr. 2 angewandt werden, bzw. je nach dem, was mod 3 von dem Ergebnis ergibt, auch diese Regel oder Regel Nr. 3

Das heißt konkret:
am Beispiel 27 (Regel 1 und 2 anwendbar): 54 und 109 führen ebenfalls zu der Endschleife 4-2-1.
am Beispiel 109 (Regel 1, 2 und 4 anwendbar): 218, 437 und 145 führen ebenfalls zu der Endschleife 4-2-1.

Die Herleitung dieser Zusammenfassung hatte ich im März 2022 in einem PDF beschrieben (Link darf ich nicht posten, da ich neu bin).

Ob sich daraus ein Beweis erstellen lässt, dass die Collatz-Vermutung richtig ist, kann ich nicht beurteilen. Mir ging es eher darum, das "Problem" zu verstehen, da in einem Video (von Veritasium) behauptet wurde, dass das Verhalten der Reihen unregelmäßig und unverständlich sei.

In der dt. Wikipedia wurde das in den Artikel zur Collatz-Vermutung mehr "mathematisch" in den Artikel eingearbeitet, nachdem ich auf der Diskussionsseite auf das hier beschriebene aufmerksam machte. Dort sind auch die Links.

Vielleicht kann hier jemand etwas mehr dazu sagen. Wie erwähnt, wurde mir dieses Forum (in einem Kommentar bei YouTube) empfohlen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erklärung für das Auf und Ab der Collatz-Reihen und 4 Regeln für die Umkehr der Collatz-Reihen
Deine Beobachtungen sind richtig, aber nicht neu. Diese und ähnliche Beobachtungen sind schon beliebig oft von Amateuren gemacht und bewiesen worden. Natürlich sind sie auch den professionalen Mathematikern nicht entgangen. Aber bisher ist es niemandem gelungen, ob Amateur oder Profi, daraus einen Beweis zu machen, dass alle Collatzfolgen irgendwann die erreichen.
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