Erklärung für das Auf und Ab der Collatz-Reihen und 4 Regeln für die Umkehr der Collatz-Reihen
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02.10.2022, 09:05 iovialis Auf diesen Beitrag antworten »
Erklärung für das Auf und Ab der Collatz-Reihen und 4 Regeln für die Umkehr der Collatz-Reihen
Hallo zusammen! Mir wurde empfohlen, hier einmal einen Ansatz zum Verständnis der Collatz-Vermutung vorzustellen. Die Vermutung von Lothar Collatz (und anderen) zu folgenden Vorschriften:
    * Beginne mit irgendeiner natürlichen Zahl n > 0.
    * Ist n gerade, so nimm als nächstes n / 2.
    * Ist n ungerade, so nimm als nächstes 3n + 1.
    * Wiederhole die Vorgehensweise mit der erhaltenen Zahl.

lautet: Die Zahlenfolge mündet immer in den Zyklus 4, 2, 1, egal, mit welcher positiven natürlichen Zahl man beginnt.

Beobachtung: Es gibt für diese Vorschriften Zahlen, deren Zahlenfolge unterschiedlich oft Auf und Ab gehen, selbst wenn nur die ungeraden Zahlen betrachtet werden, aber immer in dem Zyklus 4-2-1 landen.

Erklärung für die Beobachtung: Das Verhalten dieses Auf und Ab lässt sich mittels binärer Darstellung von (3n+1)/2 erklären, wenn man n+(n+1)/2 schreibt:

Beispiel 27 (mod 4 = 3):

11011 (n= 27, mod 4 = 3)
+1110 (14, (n+1)/2, die zu addierende Zahl)
——————————
101001 (41, das Ergebnis, mod 4 = 1, ist größer als 27)

Nächste Iteration (mit 41 mod 4 =1):

101001 (n=41, mod 4 = 1)
+10101 (21, (n+1)/2, die zu addierende Zahl)
——————————
111110 (62)
halbieren: 11111 (31, das Ergebnis, mod 4 = 3, ist kleiner als 41)

Folgerung:
    * bei n mod 4 = 3 wächst das Netto-Ergebnis (eine Zahl solange geteilt durch 2 bis sie ungerade ist) solange, bis die Iteration eine Zahl mit mod 4 = 1 erreicht
    * bei n mod 4 = 1 sinkt das Netto-Ergebnis (eine Zahl solange geteilt durch 2 bis sie ungerade ist) solange, bis die Iteration eine Zahl mit mod 4 = 3 (oder die Zahl 1 wird) erreicht

Will man die Reihen der Collatz-Vermutung umdrehen, kann man folgende vier Regeln aufstellen:
  1. Jede Zahl n, die nach den Collatz-Regeln in der Schleife 4-2-1 endet, landet auch bei 4-2-1, wenn n mit 2 hoch x (x von 0 bis unendlich) multipliziert wird; da das Ergebnis gerade wird, kann entweder diese Regel wiederholt werden, oder, wenn das Ergebnis mod 6 = 4 ist, kann 1 abgezogen und das Ergebnis durch 3 geteilt werden (was zu einer ungeraden Zahl führt und wieder eine dieser Regeln anwendbar ist)
  2. Jede ungerade Zahl, die nach den Collatz-Regeln in der Schleife 4-2-1 endet, landet auch bei 4-2-1, wenn n mit 4 multipliziert und dessen Ergebnis mit 1 addiert wird; und weil das Ergebnis wieder eine ungerade Zahl ist, kann diese Regel oder Regel Nr. 1 angewandt werden, bzw. je nach dem, was mod 3 von dem Ergebnis ergibt, auch Regel 3 oder 4
  3. Jede ungerade Zahl mit n mod 3 = 2, die nach den Collatz-Regeln in der Schleife 4-2-1 endet, landet auch bei 4-2-1, wenn von n (n+1)/3 abgezogen wird; und weil das Ergebnis wieder eine ungerade Zahl ist, kann Regel Nr. 1 oder Nr. 2 angewandt werden, bzw. je nach dem, was mod 3 von dem Ergebnis ergibt, auch diese Regel oder Regel Nr. 4
  4. Jede ungerade Zahl mit n mod 3 = 1, die nach den Collatz-Regeln in der Schleife 4-2-1 endet, landet auch bei 4-2-1, wenn zu n (n-1)/3 addiert wird; und weil das Ergebnis wieder eine ungerade Zahl ist, kann Regel Nr. 1 oder Nr. 2 angewandt werden, bzw. je nach dem, was mod 3 von dem Ergebnis ergibt, auch diese Regel oder Regel Nr. 3

Das heißt konkret:
am Beispiel 27 (Regel 1 und 2 anwendbar): 54 und 109 führen ebenfalls zu der Endschleife 4-2-1.
am Beispiel 109 (Regel 1, 2 und 4 anwendbar): 218, 437 und 145 führen ebenfalls zu der Endschleife 4-2-1.

Die Herleitung dieser Zusammenfassung hatte ich im März 2022 in einem PDF beschrieben (Link darf ich nicht posten, da ich neu bin).

Ob sich daraus ein Beweis erstellen lässt, dass die Collatz-Vermutung richtig ist, kann ich nicht beurteilen. Mir ging es eher darum, das "Problem" zu verstehen, da in einem Video (von Veritasium) behauptet wurde, dass das Verhalten der Reihen unregelmäßig und unverständlich sei.

In der dt. Wikipedia wurde das in den Artikel zur Collatz-Vermutung mehr "mathematisch" in den Artikel eingearbeitet, nachdem ich auf der Diskussionsseite auf das hier beschriebene aufmerksam machte. Dort sind auch die Links.

Vielleicht kann hier jemand etwas mehr dazu sagen. Wie erwähnt, wurde mir dieses Forum (in einem Kommentar bei YouTube) empfohlen.
02.10.2022, 12:29 Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erklärung für das Auf und Ab der Collatz-Reihen und 4 Regeln für die Umkehr der Collatz-Reihen
Deine Beobachtungen sind richtig, aber nicht neu. Diese und ähnliche Beobachtungen sind schon beliebig oft von Amateuren gemacht und bewiesen worden. Natürlich sind sie auch den professionalen Mathematikern nicht entgangen. Aber bisher ist es niemandem gelungen, ob Amateur oder Profi, daraus einen Beweis zu machen, dass alle Collatzfolgen irgendwann die erreichen.
28.01.2025, 04:38 iovialis Auf diesen Beitrag antworten »

Scheinbar war das alles doch nicht so bekannt, was ich eigentlich sagen / diskutieren wollte. Jedenfalls kam das in den neueren Videos (von MatheGym, Endlich Verständlich, Prof. Dr. Weitz) nur rudimentär oder gar nicht vor. Deshalb schaute ich meine Unterlagen von 2021/22 nochmals durch und bereitete einen Vortrag für die Uni Zhytomyr vor.

Da das übersetzt werden muss, habe ich den Vortrag auf Deutsch bei YouTube online gestellt. Seit 2022 betreibe ich eine Website zum Thema, wo das Video eingebettet ist (www .3n-1. de). Da sind auch relevante Analyse-Tools und eine Liste mit deutschen und englischen Videos zum Thema.

Der YouTube-Vortrag enthält Zeitmarker zu den jeweiligen Kapiteln. Der Vortrag gliedert sich wie folgt:
  • Einführung
  • Über Lothar Collatz
  • Gerücht, Sowjets hätten das "Problem" erfunden
    Vorgehensweise:
  • Vorstellung der Rechenvorschrift und eigentliches Problem
  • Umkehr der Funktion mit Konzentration auf ungerade Zahlen
  • Anwendung der Erkenntnisse
  • Nutzung des Binärsystems bei ungeraden Zahlen
  • Vergleich mit 3n-1


Das hier soll keine Werbung sein, sondern Diskussionsgrundlage!
28.01.2025, 08:13 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Diskussion gehört auch, dass Professor Weitz aus guten Gründen keine Ideen, Vorschläge, Ansätze von Amateuren zur Kenntnis nehmen will. Das ist alles nur Zeitverschwendung, und wir tun gut daran, auf einen Beweis zu warten, auch wenn das noch ein paar hundert Jahre dauern sollte.
28.01.2025, 09:33 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab noch einen kleinen Verbesserungsvorschlag:

Zitat:
Original von iovialis
4.Jede ungerade Zahl mit n mod 3 = 1, die nach den Collatz-Regeln in der Schleife 4-2-1 endet, landet auch bei 4-2-1, wenn zu n (n-1)/3 addiert wird

Dieses ungerade ist eine überflüssige Voraussetzung: Die Aussage stimmt auch für gerade . Achso, gleiches gilt auch bei Regel 3 - lediglich bei Regel 2 ist die Forderung der Ungeradheit wohl nötig. Augenzwinkern

Alles in allem vier Regeln, die mit wenigen Collatz-Iterationsschritten begründet werden können, und es ist schon äußerst gewagt (um nicht zu sagen vermessen) zu vermuten, dass diese einfachen Erkenntnisse "neu" sind oder gar zu einem möglichen Durchbruch beim Beweis der Collatz-Vermutung entscheidend beitragen. D.h., in der Hinsicht solltest du verbal abrüsten, es kann ja trotzdem noch ein guter Übersichtsvortrag über die Collatz-Folge werden - und ein bisschen Auflockerung scheint ja auch dabei zu sein:

Zitat:
Original von iovialis
Gerücht, Sowjets hätten das "Problem" erfunden

Genau - ein perfider Plan, die westlichen Mathematiker mit einem einfach formulierten, aber schier unlösbaren Problem in die Verzweiflung zu treiben. Big Laugh
28.01.2025, 10:43 iovialis Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL9000

Sorry, dass das etwas unverständlich ausgedrückt war. Mir war vor knapp 3 Jahren nicht bewußt, dass die 2. Regel für ungerade Zahlen eine Art "Alias" ergeben. Zwei Beispiele:


n = 1
1 mod 3 = 1, so geht Regel 4:
: 1+(1-1)/3 = 1
Regel 2 (Aliase):
  • (ohne weitere ungerade Zahl als Zwischenschritt)
  • (ohne weitere ungerade Zahl als Zwischenschritt)
  • (ohne weitere ungerade Zahl als Zwischenschritt)
  • (ohne weitere ungerade Zahl als Zwischenschritt)

Diese Reihe ist übrigens bei OEIS unter der Nummer A002450 eingetragen, also bekannt.


n = 27:
27 mod 3 = 0, geht NUR Regel 2
Regel 2 (Aliase):
  • führt zu 41 (n mod 3 = 2, Vorgänger ist nach Regel 3:
  • führt zu 41 (ohne weitere ungerade Zahl als Zwischenschritt)
  • führt zu 41 (ohne weitere ungerade Zahl als Zwischenschritt)
  • führt zu 41 (ohne weitere ungerade Zahl als Zwischenschritt)
  • führt zu 41 (ohne weitere ungerade Zahl als Zwischenschritt)


Verallgemeinert:
Jede ungerade natürliche Zahl, die mit 4^k multipliziert und zu dessen Ergebnis (4^k -1) / 3 addiert wird, führt durch EINE 3n+1-Iterationen und nachfolgend durch Halbierungen zum ungeraden Nachfolger der gewählten ungeraden Zahl.

Warum das so ist?



(gerade, weil m ungerade war)
(nach x weiteren Teilungen, abhängig von m)


Das heißt: Jede 3n+1-Folge kann einen größeren Startwert haben, als in der Folge vorkommt. Und bei 27 wird der Höchstwert bei 9.232 erreicht; mit dessen ungeradem "Alias" 6.997 im Beispiel wird nach der 3n+1-Vorschrift der Wert mit 10.496 überschritten und von da ab geht's abwärts bis 41 - ohne, dass zwischendurch nochmals mit einer ungeraden Zahl iteriert wird.

Und wo hat das jemand schon einmal beschrieben? Vielleicht sollte man einem "Amateur" doch etwas zutrauen? Ich verstehe ja, dass man sich mit solchen "Angeboten" nicht beschäftigen will, vor allem dann nicht, wenn Leichtsinnsfehler gemacht werden oder man sich für Mathematiker nicht so ausdrückt, wie sie es gewohnt sind. Da mache ich niemandem einen Vorwurf...
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28.01.2025, 11:02 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Professionelle Mathematiker und Amateure sind völlig gleichberechtigt. Wer als erster einen Beweis liefert, dem gebühren Ruhm und Ehre. Bis dahin ist alles eitler Tand und nicht der Beachtung wert. Der wesentliche Unterschied zwischen Profis und Amateuren besteht darin, dass Profis ihre kümmerlichen Fähigkeiten angesichts der Unendlichkeit nicht überschätzen.
28.01.2025, 11:31 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann endlos Regeln erfinden und beweisen nach dem Schema

Zitat:
Ist "erfolgreicher" Collatz-Startwert, dann ist auch erfolgreicher Startwert, mit irgendwelchen geeignet gewählten ganzen Zahlen .

für immer größere Module . Treibt man das lang und (iterationsmäßig) tief genug, erwischt man irgendwann auch mal eine Aussage, die noch nirgendwo explizit schriftlich festgehalten wurde.

Bringt einen das in Richtung Beweis der Collatz-Vermutung näher? Nun, es sieht nicht danach aus.

P.S.: Übrigens, hatte ich hier schon mal gepostet:

Zitat:
Original von HAL 9000
Denk an die Warnung "Don’t try to solve these problems!" des Mathematikers Richard Guy. Augenzwinkern
28.01.2025, 13:22 iovialis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iovialis
(gerade, weil m ungerade war)

Hier ist mir ein Fehler unterlaufen, den ich nicht mehr editieren konnte. Es muss heißen:
Zitat:

(gerade, weil m ungerade war)


Warum das mit diesem "Alias-Wert" "wichtig" ist, hat was mit den Interationen für ungerade Zahlen zu tun, denn davon gibt es 3 Typen (die in Klammern gesetzten 01, 0 oder 1 können beliebig oft vorkommen:
  • "Alias-Iteration" (Ende der Binärstuktur 1(01) - n mod 4 = 1) -> mindestens 3 Halbierungen bis zur nächsten ungeraden Zahl
  • Iteration (Ende der Binärstuktur 1(0)1 - n mod 4 = 1) -> fix 2 Halbierungen bis zur nächsten ungeraden Zahl (Außer bei einer 0, da das eine Alias-Iteration wäre)
  • Iteration (Ende der Binärstuktur 0(1)1 - n mod 4 = 3) - -> fix 1 Halbierung bis zur nächsten ungeraden Zahl
28.01.2025, 13:58 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja alles ganz nett, aber bilde dir nicht ein, der erste zu sein, der solche Aspekte der Collatz-Folge untersucht. Selbst hier im Board hat erst voriges Jahr ein weiterer Collatz-Amateur names Telefonmann1 ähnliche Gedanken geäußert, in dem schon oben bereits erwähnten Thread. Und das Matheboard ist gewiss nicht die erste Anlaufstelle der Collatz-Jünger weltweit. Augenzwinkern
28.01.2025, 14:16 iovialis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Das ist ja alles ganz nett, aber bilde dir nicht ein, der erste zu sein, der solche Aspekte der Collatz-Folge untersucht. Selbst hier im Board hat erst voriges Jahr ein weiterer Collatz-Amateur names Telefonmann1 ähnliche Gedanken geäußert. Und das Matheboard ist gewiss nicht die erste Anlaufstelle der Collatz-Jünger weltweit. Augenzwinkern


Siehste, dann könnte ja doch war an dem Ansatz dran sein, wenn man ihn weiterverfolgt... Aber hier wird einem eher der Mut genommen...

Meine Schlüsse sind auf der genannten Website und im Video-Vortrag - hier habe ich nur das wiedergegeben, was da vorkommt... Trotzdem Danke, denn an den Antworten habe ich gesehen, dass man Dinge doch "ausführlicher" erklären muss und es Leute gibt, die es nicht wahrhaben wollen, dass man die Collatz-Vermutung auch "verstehen" kann (mir ging's ja nicht ums Beweisen - da bin ich nicht für zuständig)
28.01.2025, 14:47 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iovialis
dass man die Collatz-Vermutung auch "verstehen" kann

Kein ernst zu nehmender Mathematiker hat Probleme mit dem bloßen Verständnis der Collatz-Vermutung.

Zitat:
Original von iovialis
Siehste, dann könnte ja doch war an dem Ansatz dran sein, wenn man ihn weiterverfolgt... Aber hier wird einem eher der Mut genommen...

Ok, dann korrigiere ich mich: Dein Ansatz ist prima geeignet, um das "Verständnis" der Collatz-Vermutung zu fördern. Was mit dem Beweis wenig zu tun haben muss, denn z.B. jeder der weiß, was man mit Potenzen ganzer Zahlen meint, versteht auch den Großen Fermatschen Satz.


Wenn du in deinen Betrachtungen primär das Verständnis der Vermutung befördern willst, dann würde ich auch andere Aspekte beleuchten:

Dass diese Hineinlaufen in immer denselben Endzyklus (hier 4-2-1) durchaus was besonders ist!

Für Variationen der Folgeniteration wie oder statt gelangt man nicht immer in ein- und denselben Zyklus, bzw. bei gerät man meistens sogar in eine divergente Folge (was aber auch noch nicht bewiesen ist).
28.01.2025, 15:25 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich ist die elementare Zahlentheorie seit dreitausend Jahren dafür bekannt, dass man jedem halbwegs verständigem Kind Probleme erklären kann, für die selbst die berühmtesten Magier, Philosophen und Mathematiker keine Lösung finden können. Es ist durchaus erstaunlich, dass man auf viele einfachen Fragen keine einfachen Antworten geben kann und manche Probleme erst im Laufe der Entwicklung komplizierter Theorien nach Jahrhunderten lösen oder auch als unlösbar erkennen kann. Unter anderem macht dieses Charakteristikum die Zahlentheorie für Mathematiker so reizvoll und lehrt sie Bescheidenheit - im Gegensatz dazu verführt die selbige Eigenschaft manchen zum Größenwahn. In der Politik ist es so ähnlich; wenn Probleme nicht lösbar sind, kommen garantiert Merz und Weidel um die Ecke und kennen Ursachen und Lösungen für jedes Problem.
28.01.2025, 15:51 iovialis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Betrachtung von 3n-1 und 5n+1 kommen in meinem Vortrag ebenfalls vor; 5n+1 leider nur am Rande, da ich nicht so viel Zeit habe.

Was das "Hineinlaufen in den Zyklus 4-2-1 angeht, hat das etwas mit der "Addition" zu tun. 3n+1 kann man auf zwei Weisen (basierend auf dem Binärsystem) rechnen, wobei das Ergebnis das Gleiche ist:
  • man kann 2n+1 rechnen, was im Binärsystem heißt, dass man eine "1" an das Ende der Binärdarstellung setzt und nichts passiert mit der Binärstruktur der Zahl. Aber wir haben immer n mod 4 = 3; danach addieren wir n dazu - und das kann vorher mod 4 = 3 oder 1 sein. Erst beim Zusammenrechnen ändert sich die Binärstruktur des Ergebnisses, das eine gerade Zahl wird, die mindestens einmal durch 2 teilbar ist. Also haben wir ((2n+1)+n)/2
  • man kann aber auch zuerst 1 addieren (n+1), womit sich die Binärstruktur von n ändert. Und die Zahl wird dadurch gerade. Dann kann man 2n dazu zählen - wieder eine gerade Zahl, aber die Binärstruktur bleibt gleich. Erst beim Zusammenzählen beider Zahlen, ändert sich die Binärstruktur des Ergebnises. Allerdings kann man in jedem Schritt einmal durch 2 teilen. Hier haben wir also n+(n+1)/2


Im ersten Fall können wir die modulare Additionslogik verstehen:
eine Zahl n mod 4 = 3 plus eine Zahl m mod 4 = 3 ergibt als Ergebnis mod 4 = 2 (fix, einmal durch 2 teilbar)
eine Zahl n mod 4 = 1 plus eine Zahl m mod 4 = 1 ergibt als Ergebnis mod 4 = 2 (nicht der Fall, da wir ja immer eine Zahl mod 4 = 3 addieren, was uns der erste Fall zeigte)
eine Zahl n mod 4 = 1 plus eine Zahl m mod 4 = 3 ergibt als Ergebnis mod 4 = 0 (mindestens einmal durch 2 teilbar)

Im zweiten Fall zweigt uns die Addition etwas im Binärformat:
Eine Zahl der Form :

- (n+1)/2
- 2n/2
------------------
- (3n+1)/2

Und siehe da, die wurden zu 2^(k-1) -1

Das passiert solange, bis alle Einsen "aufgebraucht" wurden...


Da ich keine Bilder und keine Links setzen darf, kann ich's leider nicht besser zeigen. Aber da ein Spezialist anwesend ist, kann er das sicher verstehen ;-)
28.01.2025, 16:22 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iovialis
Was das "Hineinlaufen in den Zyklus 4-2-1 angeht, hat das etwas mit der "Addition" zu tun.

Ich sehe jetzt nicht an deinen Argumenten, warum man bei 3n+1 in den Zyklus 4-2-1 laufen muss, bei 3n-1 aber nicht. Aber ist ja auch klar: Wenn da was dran wäre, hättest du damit ja die Collatz-Vermutung bewiesen. Augenzwinkern


1) Bei Standard-Collatz kommt man bei Zahlen in Sequenzen zu .

2) Genauso kommt man bei der -Variation bei Zahlen in Sequenzen zu .

Den substanziellen Unterschied sehe ich jetzt nicht: Bei 1) wird im Binärformat die unterunterbrochene Kette an Einsen am Ende immer kürzer - allerdings ist unklar, was "vorn" an Nullen und Einsen hinzukommt. Bei 2) wird im Binärformat die ununterbrochene Kette an Nullen (ab der vorletzten Position rückwärts betrachtet) nach und nach kürzer, und es ist genauso schwer wie in 1) zu beschreiben, was vorn passiert.
28.01.2025, 16:32 iovialis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von iovialis
Was das "Hineinlaufen in den Zyklus 4-2-1 angeht, hat das etwas mit der "Addition" zu tun.

Ich sehe jetzt nicht an deinen Argumenten, warum man bei 3n+1 in den Zyklus 4-2-1 laufen muss, bei 3n-1 aber nicht. Aber ist ja auch klar: Wenn da was dran wäre, hättest du damit ja die Collatz-Vermutung bewiesen. Augenzwinkern


Wenn Du das Konzept der "Aliase" verstanden hast und die Binäre Addition, wirst Du auch die Zyklen verstehen. Dazu erstellte ich Additionstabellen, die das erklären. Die werde ich jetzt aber hier nicht "konstruieren". Sie sind im Video (da gibt's bei YouTube eine Timeline, wo die einzelnen Schritte geteilt sind) und es gibt ein PDF, wo das steht.

Und nochmals: ich wollte nicht beweisen, sondern verstehen...
28.01.2025, 17:32 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Das Schöne am Collatz-Problem ist, dass es da eine Vielzahl von Teilordnungen zu entdecken gibt. Das ist abendfüllend und ein schönes Hobby.
Das eigentliche Problem ist aber nicht die Verknüpfung der Zahlen, sondern die "Gesamtdynamik" der Folgen (die nichttrivial und quasi-chaotisch trotz Teilordnungen ist).
Mit dem "reversen Collatzbaum" haben es auch schon viele probiert, auch mit Binärdarstellungen.
Tatsächlich kann man sich auch beim Collatzproblem rein auf die "ungeraden Collatzfolgen" beschränken, gerade Zahlen spielen da keine Rolle.
So gibt es im reversen Baum auch immer 2 ungerade "Vorgänger" (ausser bei durch 3 teilbare Zahlen).
Ein "Vorgänger" ist dabei mit einem u (ungerade) auch immer 4*u+1, beide haben denselben "Nachfolger" u'.
Besonders interessant sind dabei auch die Zahlen
4*(..4*(4*1+1)+1..)+1
die bei n 4er Faktoren auf die Zahl 4^(n+1) führen und damit direkt zur 1-4-2-1.
Aber generell sollte bei jedem Start mit einer ungeraden Zahl auch Zahlen vom Typ 4*z+1 mit z ungerade (also 5, 13, 21, 29,..) in der Collatzfolge auftreten. Darauf kann man wetten. Aber das schon zu beweisen ist schwierig. Oder kannst du das? smile
28.01.2025, 17:33 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Inwieweit soll ich was "verstehen" was letzten Endes die Zyklen aber nicht beweist? Dieses Konzept ist mir als Mathematiker fremd. Augenzwinkern

Deine Aliases sind nichts weiter als alternative Startwerte, die nach wenigen Iterationszyklen mit dem originalen Startwert (oder bei 2) auch dessen Iterierten) übereinstimmt. Damit kann man in den Zyklus 4-2-1 laufen, muss es aber nicht.

Ähnliche Aliases kann man für entwickeln, so what?
28.01.2025, 18:48 iovialis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luftikus
Aber generell sollte bei jedem Start mit einer ungeraden Zahl auch Zahlen vom Typ 4*z+1 mit z ungerade (also 5, 13, 21, 29,..) in der Collatzfolge auftreten. Darauf kann man wetten. Aber das schon zu beweisen ist schwierig. Oder kannst du das? smile


Naja, beweisen ist der falsche Ausdruck... Aber ich habe einen Aufbau von ungeraden Zahlen für 3n+1-Folgen, die etwas kryptisch wirkt:



Die Bedingungen sind dabei interessant:
m>0, sonst macht's keinen Sinn
p>0, da sonst ,
q>=0 - also ist immer mindestens eine zwei in der Zahl
k>=0, bei 0 ist 4^k = 1 und somit kann man ignorieren
g = 0, da sonst gerade

Wozu das?

Man kann die "Reinformen" von und betrachten. Die finden sich bei Binärzahlen von rechts gesehen bis sie durch eine 0 (bei ) oder 1 (bei und ) vom Rest der Binärfolge getrennt sind.

3 ist ein Sonderfall, denn bei p=2 und q=1 ist es das Gleiche.
5 ist auch ein Sonderfall, denn bei q=2 und k=1 ist es das Gleiche.

Es gibt für diese drei "Binär-Typen" jeweils Iterationen, welche die "vordere Binärstruktur" verändern, aber eben auch "sich selbst" (und dabei wird ihre Länge hinten kürzer).

Bei findet ein Austausch von bis mit statt. Das ist solange mod 4 = 3, bis p "aufgebraucht" ist. Danach wird die Gesamtzahl zu mod 4 = 5 oder mod 4 = 1.

Bei gibt's 2 "Halbierungen" und dann muss "neu bewertet" werden.

Und hatte ich hier bereits erwähnt.

Man kann das bestimmt "eleganter" darstellen. Mir ging es darum zu zeigen, dass m durch Iterationen immer kleiner wird. Und da sich wegstreichen ließe, ist das der Fall, wenn ich nur mit dem Anteil oder iteriere.

Wie ich drauf kam:

Ich habe ein PHP-Script auf der Website, wo man sich das anschauen kann und wo die Binärteile farblich markiert sind. Darf nur keinen Link posten... Da gibt es noch viel mehr interaktive Analyse-Möglichkeiten (Bitlänge, Tritlänge, "Reverse-Lauf") für 3n+1 und 3n-1.

Das ist die Mathematik dahinter Hammer
28.01.2025, 19:04 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iovialis
Zitat:
Original von Luftikus
Aber generell sollte bei jedem Start mit einer ungeraden Zahl auch Zahlen vom Typ 4*z+1 mit z ungerade (also 5, 13, 21, 29,..) in der Collatzfolge auftreten. Darauf kann man wetten. Aber das schon zu beweisen ist schwierig. Oder kannst du das? smile


Naja, beweisen ist der falsche Ausdruck... Aber ich habe einen Aufbau von ungeraden Zahlen für 3n+1-Folgen, die etwas kryptisch wirkt:


Naja, das wirkt auf mich so "kryptisch" wie die Collatz-Folgen selbst..
Mein Tipp bei Fragen über Zahlen versuch einen "Kontext-Switch", stell das Problem so tiefer dar.
Dazu konzentrier dich mal auf "ungerade Collatzfolgen" mit 2*k+1 und k mod 4. Was sagst du dann? smile
28.01.2025, 19:16 iovialis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iovialis

Bei findet ein Austausch von bis mit statt. Das ist solange mod 4 = 3, bis p "aufgebraucht" ist. Danach wird die Gesamtzahl zu mod 4 = 5 oder mod 4 = 1.


Das sollte mod 8 = 5 oder mod 8 = 1 heißen :-( Ist beides mod 4 = 1
28.01.2025, 19:25 iovialis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luftikus
Naja, das wirkt auf mich so "kryptisch" wie die Collatz-Folgen selbst..
Mein Tipp bei Fragen über Zahlen versuch einen "Kontext-Switch", stell das Problem so tiefer dar.


Das Problem an der Collatz-Vermutung ist, dass man nicht ohne Beispiele auskommtm aber dann Gefahr läuft, ständig Zahlenreihen "aufzusagen", die im Vortrag keiner so schnell Nachvollziehen kann. Bei Binärzahlen ist es noch schlimmer. Um das aber allgemein halten zu können, bedarf es solcher Formeln, da man darin "Stellschrauben" hat.

Ein "Kontext-Switch" ist sicher sinnig - man könnte ja von Männchen und Weibchen reden )))

Danke jedenfalls für den Tipp!
28.01.2025, 19:29 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luftikus
Zitat:
Original von iovialis
Zitat:
Original von Luftikus
Aber generell sollte bei jedem Start mit einer ungeraden Zahl auch Zahlen vom Typ 4*z+1 mit z ungerade (also 5, 13, 21, 29,..) in der Collatzfolge auftreten. Darauf kann man wetten. Aber das schon zu beweisen ist schwierig. Oder kannst du das? smile


Naja, beweisen ist der falsche Ausdruck... Aber ich habe einen Aufbau von ungeraden Zahlen für 3n+1-Folgen, die etwas kryptisch wirkt:


Naja, das wirkt auf mich so "kryptisch" wie die Collatz-Folgen selbst..
Mein Tipp bei Fragen über Zahlen versuch einen "Kontext-Switch", stell das Problem so tiefer dar.
Dazu konzentrier dich mal auf "ungerade Collatzfolgen" mit 2*k+1 und k mod 4. Was sagst du dann? smile


ZB. siehst du dann so auch, dass es beliebig lange "ungerade Collatzfolgen" (nach Vorgabe) gibt, die aufsteigen können. Also jede ungerade Zahl als Vorgabe übersteigen. Bzw. dann im "reversen Baum absteigen"..
29.01.2025, 00:27 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Luftikus
ZB. siehst du dann so auch, dass es beliebig lange "ungerade Collatzfolgen" (nach Vorgabe) gibt


Nimm zB. für n "aufsteigende ungerade Collatzzahlen" 2^(n+1)-1

1000 Zahlen

2^1001-1 =
214301721437253464189685009812000362112280962341106721488750077674070210224
987224498639675763139171625518934583510629365037429057138462808719691551493
971496078691355496484619708421492101247422837559083643060929499671638825347
975351183310878921541258291423929553730843353208596633052487736744113361387
51

http://ericr.nl/wondrous/showsteps.html
29.01.2025, 08:37 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wie ich im oben verlinkten Thread auch schon erwähnt hatte, bekommt man generell bei Zahlen mit ungeradem zu Beginn genau ununterbrochene Aufstiege und landet damit bei Zahl . Bei Wahl von mit hat man danach nur noch Halbierungsschritte bis zur 1, aber so glatt läuft es i.a. ja eher nicht. Augenzwinkern
29.01.2025, 09:49 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keinen Algorithmus, der bei Eingabe einer natürlichen Zahl n entscheidet, ob die Collatz-Folge für n auf 1 endet oder nicht. Dass für spezielle n eine Entscheidung möglich ist, hilft überhaupt nicht weiter. Im allgemeinen muss gerechnet werden, und das dauert für unendlich viele Zahlen unendlich lange. So lange kann ich nicht warten, und ich bin überzeugt, dass das Problem in endlicher Zeit gelöst sein wird. "Wir müssen wissen, wir werden wissen."
29.01.2025, 12:54 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Auf der von Luftikus verlinkten Seite http://ericr.nl/wondrous toben die sich ja richtig aus, was diverse Kenn- und Bewertungszahlen von Collatz-Startwerten betrifft. Augenzwinkern
29.01.2025, 15:24 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Seite für Spinner und solche, die Spinner werden wollen. Schon nach wenigen Klicks tun sich Abgründe und Sümpfe der absoluten Dummheit auf. Professor Weitz weiß ganz genau, warum er jede angehende Mathematikerin warnt, sich mit unlösbaren Problemen zu beschäftigen.
29.01.2025, 17:27 HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

So hart würde ich das nicht beurteilen - die sind halt fasziniert von und berauschen sich an diesen Statistiken der Collatz-Folgen.

Wenn ich die Threads von Pippen hier im Board sehe, denke ich auch immer "Was für ein Spinner", und mit dem unterhältst du dich gern - also jedem Tierchen sein Pläsierchen. smile
29.01.2025, 18:02 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Es gibt keinen Algorithmus, der bei Eingabe einer natürlichen Zahl n entscheidet, ob die Collatz-Folge für n auf 1 endet oder nicht. Dass für spezielle n eine Entscheidung möglich ist, hilft überhaupt nicht weiter. Im allgemeinen muss gerechnet werden, und das dauert für unendlich viele Zahlen unendlich lange. So lange kann ich nicht warten, und ich bin überzeugt, dass das Problem in endlicher Zeit gelöst sein wird. "Wir müssen wissen, wir werden wissen."


Ich denke, es könnte auf einen "Computer-Beweis" hinauslaufen..
es gibt einige Charakteristiken der Collatz-Folgen, die zu Klassen von Folgen führen. Derer sind aber nicht wenige.
Könnte man diese Klassen klar definieren und ihre Charakteristik grundlegend für den 1-4-2-1 Zyklus nachweisen, wäre viel gewonnen..
Vielleicht hat man sogar dies durch die grosse Anzahl an Testungen sogar schon (indirekt) nachgewiesen, aber weiss es noch nicht!? smile
Jedenfalls ist es offenbar so, dass Ausnahmen mit der Anzahl getesteter Fälle unwahrscheinlicher werden..
29.01.2025, 18:17 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL9000
Mit Abgründe und Sümpfe meine ich nicht die nette Zusammenstellung über die Collatz-Vermutung sondern die "References to other pages on this topic", was dannn zu Peter Schorer ( http://www.occampress.com/ ) führt, der glaubt, Beweise zu haben ... das tut weh.
@Luftikus
Im Unendlichen gibt es unendlich viele Ausnahmen, das macht Computerbeweise im allgmeinen unmöglich.
29.01.2025, 18:35 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
@Luftikus
Im Unendlichen gibt es unendlich viele Ausnahmen, das macht Computerbeweise im allgmeinen unmöglich.


Das stimmt nicht, woher hast du deine Meinung?
Du kannst auch unendliche Mengen durch endliche Charakteristiken klassifizieren..
Ich gehe bei Collatz-Folgen von 64^n aus. Über n bin ich mir noch unschlüssig, aber es sollte endlich sein..
29.01.2025, 22:00 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe nicht, wie du auf die Idee kommst, dass es nur endlich viele Collatz-Folgen geben soll. Gibt es dafür einen ernstzunehmenden Grund?
29.01.2025, 22:20 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Verstehe nicht, wie du auf die Idee kommst, dass es nur endlich viele Collatz-Folgen geben soll. Gibt es dafür einen ernstzunehmenden Grund?


Ich denke wir missverstehen uns.
Endliche Charakteristiken und Klassifikationen meint endliche Eigenschaften und Zuordnung zu einer endlichen Anzahl von Mengen. Die Mengen können selbst unendlich sein.

Mal ein triviales Beispiel über natürliche Zahlen:
gerade oder ungerade, Primzahl oder nicht.
Dafür gibt es endliche Vorgaben, die für jede natürliche Zahl entschieden werden können.
So ist dann unter den geraden die Zahl 2 und keine ungerade. Jeder weitere Primzahl ist ungerade.
Und es gibt viele weitere Charakteristiken, die Aussagen über die unendlich vielen natürlichen Zahlen (und auch Primzahlen) ermöglichen, somit Klassifikationen zulassen, etc. pp.
Hoffe das reicht, ansonsten muss ich mir bessere Beispiele ausdenken.. smile
29.01.2025, 22:44 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe. Es gibt zwei Klassen von Collatz-Folgen. Die Elemente der einen Klasse enden auf 1. Die Elemente der anderen Klasse enden nicht auf 1. Leider ist damit das Problem nicht gelöst, denn wir wüssten gerne, ob die zweite Klasse leer ist oder nicht. Um das Problem für Computer angreifbar zu machen, muss mehr kommen.
29.01.2025, 23:01 Luftikus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Verstehe. Es gibt zwei Klassen von Collatz-Folgen. Die Elemente der einen Klasse enden auf 1. Die Elemente der anderen Klasse enden nicht auf 1. Leider ist damit das Problem nicht gelöst, denn wir wüssten gerne, ob die zweite Klasse leer ist oder nicht. Um das Problem für Computer angreifbar zu machen, muss mehr kommen.


Das wäre eine Idee. Aber die hilft hier wohl nicht weiter.
Aber wenn man Klassen finden könnte, von denen man nachweisen, meint "beweisen", kann, wenn ein Repräsentant auf 1 kommt, dann alle der Klasse. Dann würde es vielleicht bedeuten, dass man das für 4096 oder vielleicht auch 16 Millionen Repräsentanten an Folgen nachweisen müsste. Dazu dient dann der Computer..
30.01.2025, 08:42 Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Darin stimmen wir vollkommen überein. Wenn man das beweisen könnte, hätte man einen Beweis und könnte mit Computern versuchen, den endlichen Rest zu berechnen.
Meine langjährigen Forschungen haben allerdings ergeben, dass Collatz-Folgen, die mit einer tierisch unvollkommenen Zahl beginnen, nicht auf 1 enden. Tierisch unvollkommen ist das Produkt aller ungeraden unvollkommenen natürlichen Zahlen, die kleiner als die größte gerade vollkommene Zahl sind, (homöopathisch) potenziert (schütteln und klopfen nicht vergessen) mit der Zahl des Tieres . Als Restproblem bleibt nur noch, die größte vollkommene gerade Zahl und alle kleineren ungeraden vollkommenen Zahlen zu berechnen, zu multiplizieren und zu potenzieren und die zugehörige Collatz-Folge zu berechnen. ChatGPT und DeepSeek haben es heute morgen noch nicht geschafft... Augenzwinkern
Nennen wir die so definierte Zahl , dann bin ich zu 99,99% sicher, dass zwischen und mindestens 3 weitere Zahlen liegen, deren Collatz-Folge nicht auf 1 endet. Zum Beweis kann man alles direkt nachrechnen.

Ist jemand dazu fähig, die Anzahl der Dezimalstellen von UNTIER abzuschätzen unter der Voraussetzung, dass die derzeit bekannte größte vollkommene gerade Zahl die größte vollkommene gerade Zahl ist und 82048640 Dezimalstellen hat? Nachtrag: Ich hab's versucht und komme auf ca. Dezimalstellen.
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