Fehlerhafte Schlussregel

02.10.2022, 15:00

Finn_

Fehlerhafte Schlussregel

Im Artikel Natural Deduction in der Internet Encyclopedia of Philosophy scheint mir eine fehlerhafte Schlussregel aufgeführt zu sein. Der 6. Abschnitt Other Approaches listet die Regeln für das natürliche Schließen von Sequenzen auf, basierend auf Gentzens 1936 in den Mathematischen Annalen, Band 112 auf S. 493 bis 565 erschienener Arbeit Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie.

Es geht um die Regel zur Negationsbeseitigung, die als

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\Gamma,\varphi\vdash\psi\qquad\Delta,\varphi\vdash\neg\psi}{\Gamma,\Delta\vdash\psi} \end{eqnarray*}$

aufgeführt ist, in Gentzens Arbeit allerdings nicht in dieser Form auftaucht. Meines Erachtens kann die Regel so auch nicht stimmen. Setzen wir dazu $\begin{eqnarray*} \Gamma=\Delta=\emptyset \end{eqnarray*}$ bzw. = die leere Liste. Es findet sich nun der Baum:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\dfrac{\vdash\varphi\to\psi\qquad\overline{\varphi\vdash\varphi}}{\varphi\vdash\psi}\qquad\dfrac{\vdash\varphi\to\neg\psi\qquad\overline{\varphi\vdash\varphi}}{\varphi\vdash\neg\psi}}{\vdash\psi} \end{eqnarray*}$

Gilt die Regel in der klassischen Logik nicht, gilt sie erst recht nicht. Wir können also klassische Logik voraussetzen. Es stehen insofern die Umformungen $\begin{eqnarray*} \varphi\to\psi\equiv \neg\varphi\lor\psi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi\to\neg\psi\equiv\neg\varphi\lor\neg\psi \end{eqnarray*}$ zur Verfügung. Nach der Entfernung der Zwischenschritte aus dem Beweisbaum gelangt man zu:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\vdash\neg\varphi\lor\psi\qquad\vdash\neg\varphi\lor\neg\psi}{\vdash\psi} \end{eqnarray*}$

Setzt man nun $\begin{eqnarray*} \varphi\equiv\bot \end{eqnarray*}$ ein, gelangt man zu

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\vdash\top\qquad\vdash\top}{\vdash\psi}, \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \vdash\top \end{eqnarray*}$ axiomatisch angenommen werden darf. Das heißt, es wurde $\begin{eqnarray*} \vdash\psi \end{eqnarray*}$ für jede beliebige Formel $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ bewiesen, was absurd ist.

Ist mein Argument stichhaltig? Sollte ich dem Autor eine Mail schicken?

Zum Vergleich die Ausführungen im 5. Paragraph Die Formalisierung der in der reinen Zahlentheorie vorkommenden Schlußweisen aus Gentzens Arbeit.

Zitat:

Zu den Schlußregeln für die Negation ist zu sagen: Wie schon unter 4. 5 6 erwähnt, ist hier die Auswahl der Elementarschlußweisen willkürlicher als für die anderen Aussagenverknüpfungen. Ich möchte noch folgende dafür in Betracht kommende einfache Schlußregeln erwähnen:

Aus $\begin{eqnarray*} A,\Gamma\vdash B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \neg A,\Delta\vdash B \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \Gamma,\Delta\vdash B. \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} \Gamma\vdash A\lor B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta\vdash\neg B \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \Gamma,\Delta\vdash A \end{eqnarray*}$ (Beispiel unter 4. 4 3).

Aus $\begin{eqnarray*} \Gamma\vdash \neg B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A,\Delta\vdash B \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \Gamma,\Delta\vdash\neg A. \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} \Gamma\vdash\neg A \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \Gamma\vdash A\to B \end{eqnarray*}$ (Beispiel unter 4. 4 1).

Aus $\begin{eqnarray*} \Gamma\vdash A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta\vdash\neg A \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \Gamma,\Delta\vdash B. \end{eqnarray*}$

Ferner könnte man als logische Grundsequenzen für die $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ -Verknüpfung nehmen:

$\begin{eqnarray*} \vdash A\lor\neg A, \end{eqnarray*}$ „Satz vom ausgeschlossenen Dritten“ (Beispiel unter 4. 4 2);

$\begin{eqnarray*} \vdash\neg (A\land\neg A) \end{eqnarray*}$ , „Satz vom Widerspruch“.

Eine korrekte Regel für die Negationsbeseitigung wäre also

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\Gamma\vdash\varphi\qquad\Delta\vdash\neg\varphi}{\Gamma,\Delta\vdash\psi} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \dfrac{\Gamma\vdash\varphi\qquad\Delta\vdash\neg\varphi}{\Gamma,\Delta\vdash\bot} \end{eqnarray*}$ zuzüglich $\begin{eqnarray*} \dfrac{\Gamma\vdash\bot}{\Gamma\vdash\psi}. \end{eqnarray*}$

02.10.2022, 18:37

Pippen

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RE: Fehlerhafte Schlussregel

Zitat:

Original von Finn_

Es geht um die Regel zur Negationsbeseitigung, die als

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\Gamma,\varphi\vdash\psi\qquad\Delta,\varphi\vdash\neg\psi}{\Gamma,\Delta\vdash\psi} \end{eqnarray*}$

Dieser Schluss ist ungültig. Denn übersetzt als AL-Formel lautet er: (((A & B) > C) & ((D & B) > ~C)) > ((A & D) > C) und das ergibt keine Tautologie, was es aber müsste, um ein gültiger Schluss zu sein. (zB hier „nachzurechnen“: https://mrieppel.net/prog/truthtable.html)

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