Wettbewerb! Fünfeck

03.10.2022, 13:31	einhorn228	Auf diesen Beitrag antworten »
Fünfeck Meine Frage: Im konvexen Fünfeck ABCDE ist die Seite BC parallel zur Diagonalen AD, und die Seite AE ist parallel zur Diagonalen BD. Die Punkte M und N sind die Mittelpunkte der Seiten CD beziehungsweise DE. Der Punkt Q ist der Schnittpunkt der Strecken AM und BN. Man beweise, dass das Viereck MDNQ und das Dreieck ABQ flächengleich sind. Meine Ideen: Aufgabe mithhilfe von Scherung lösen?
03.10.2022, 13:55	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fünfeck Das ist die gleiche Aufgabe wie hier, nur ohne Bild. Falls es noch wettbewerbsrelevant ist, sollte (vorläufig) geschlossen werden.
03.10.2022, 15:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgabeschluss war am 10. September (https://adolfinum.de/aktuelles/knobeleie...ltersstufe.html). Also frisch heran! mY+
03.10.2022, 15:30	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist Quatsch. Es variiert leider von Schule zu Schule. Hier ist z. B. Abgabe bis zum 14.10. möglich. Ich schließe wieder. edit: Laut offizieller Seite sind die Lösungen ab dem 28.10. verfügbar. https://www.mathematik-olympiaden.de/moev/index.php/aufgaben Ab dann kann gerne diskutiert werden.
30.10.2022, 10:43	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist wieder offen.
30.10.2022, 11:13	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Mathema! Mein Lösungsversuch geht in eine andere Richtung als die angegebene Lösung (ab Seite 5). [attach]56170[/attach] Zunächst stellt man fest, dass Punkt $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ auf der Mittelparallelen von $\begin{eqnarray} \overline{BC} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{AD} \end{eqnarray}$ liegt. Daher ist der Lotabstand von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \overline{AD} \end{eqnarray}$ genau halb so groß wie der von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \overline{AD} \end{eqnarray}$ . Somit ist die Fläche des Dreiecks AMD $\begin{eqnarray} (F_{AMD}) \end{eqnarray}$ genau halb so groß wie $\begin{eqnarray} F_{ABD} \end{eqnarray}$ . Entsprechendes gilt für Punkt N und Dreieck BDN. Die Flächen der zwei Dreiecke AMD und BDN ergeben zusammen $\begin{eqnarray} F_{ABD} \end{eqnarray}$ . [attach]56172[/attach] Sie liegen aber erstens so, dass sie sich teilweise überlappen - siehe die achteckige Figur in Bild 2. Daher ist die Fläche dieser Figur schon mal um die farblich markierte Fläche kleiner als $\begin{eqnarray} F_{ABD} \end{eqnarray}$ . Zweitens ragen zwei Abschnitte des Achtecks (zwei rötliche Dreiecke) über das Dreieck ABD hinaus, wodurch die Leerfläche, die im Dreieck ABD nicht überdeckt wird, genau um diese zwei Teilflächen größer. Also kann man sagen, dass die Fläche des violettfarbigen Vierecks und der zwei rötlichen Dreiecke genau jener Fläche entspricht, die vom Achteck im Dreieck ABD nicht bedeckt wird - und das ist das Dreieck ABQ. [attach]56173[/attach] Ob diese Zusammenhänge schon für einen Beweis ausreichen, weiß ich nicht.
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01.11.2022, 11:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die offizielle Lösung dieser Aufgabe ist angenehm einfach und elementar. Ich dagegen hatte vektoriell nachgewiesen, dass die Fläche des "überschlagenen" Fünfecks $\begin{eqnarray} ABNDM \end{eqnarray}$ gleich Null ist, unter Nutzung des der Parallelitäten wegen geltenden $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AE}\times \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{BC} = 0 \end{eqnarray}$ . Ist viiiiel termlastiger...

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