Kritische Stelle von Funktion mit Produktzeichen

03.10.2022, 23:18	xxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Kritische Stelle von Funktion mit Produktzeichen Meine Frage: Hallo Forum, wie kommt man bei dieser Aufgabe auf die Lösung? Soll hier abgeleitet werden oder kann man schon davor erkennen, dass die Antwort oben rechts richtig ist? Vielen Dank im Voraus für alle hilfreichen Antworten. Meine Ideen: .
04.10.2022, 00:14	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm d}{\mathrm d\mu}\prod_{i=1}^n f_i(\mu) = \left(\prod_{i=1}^n f_i(\mu)\right)\sum_{i=1}^n {\frac{f_i'(\mu)}{f_i(\mu)}} \end{eqnarray}$ für nullstellenfreie $\begin{eqnarray} f_i \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} f'(\mu) = \sum_{i=1}^n {\frac{f_i'(\mu)}{f_i(\mu)}} = \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)(-1) = n\mu - \sum_{i=1}^n x_i. \end{eqnarray}$ Die Bedingung $\begin{eqnarray} f'(\mu)=0 \end{eqnarray}$ ist demzufolge äquivalent zu $\begin{eqnarray} \mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i. \end{eqnarray}$
04.10.2022, 09:43	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
@Finn_ Auch du solltest das Forumsprinzip "Hilfe zur Selbsthilfe" beachten und nicht einfach eine Lösung vorrechnen. Die vorliegende Aufgabe ergibt sich z. B., wenn man aus einer Stichprobe aus einer Normalverteilung mit unbekanntem $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ den Maximum Likelihood Schätzer für $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ bestimmen soll. Dazu ist das in der Aufgabe stehende Produkt abzuleiten. Da der Logarithmus eine streng monotone Funktion ist, haben eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \ln f(x) \end{eqnarray}$ dieselben kritischen Stellen. Man kann also statt des Produktes auch seinen Logarithmus ableiten. Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren des Produkts. Dabei kann man hier die Logarithmen der Exponentialterme direkt angeben. So entsteht eine sehr einfache Summe, deren Ableitung keine Probleme bereitet. Das ist der angedachte Lösungsweg. Wie man aus der Lösung von Finn_ sieht, wird nicht von jedem die Ableitung eines Produktes als unhandlich empfunden.
04.10.2022, 12:35	xxxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch beiden für eure schnellen Antworten. Ihr habt mir sehr geholfen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »