Erzeugte Untergruppe

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Hoptima Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugte Untergruppe
Meine Frage:
Guten Tag,

Sei G eine Gruppe mit A Teilmenge von G. Die von A erzeugte Untergruppe erz(A) ist definiert durch erz(A):= {a1***an | n aus N,ai aus A oder ai^-1 aus A für alle i=1,...0}

Es soll gezeigt werden, dass erz(A) die kleinste Untergruppe von G ist, die A enthält. Beweisen Sie dazu folgende Aussagen:

i) erz(A) Teilmenge G ist eine Untergruppe
ii) Ist U Teilmenge G eine Untergruppe mit A Teilmenge U, so folgt erz(A) Teilmenge U.

Meine Ideen:
Frage bezieht sich auf ii). Ein Ansatz fehlt hier vollkommen, da ich nach Längerem zu keinem Schluss kam. Würde mich daher freuen, über einen von euch gelieferten Ansatz.


Lg
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RE: Erzeugte Untergruppe
Du nimmst ein Element aus erz(A), begründest, dass jeder auftretende Faktor in U ist, und dann ist auch deren Produkt wieder in U
Hoptima Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugte Untergruppe
Danke erst mal für den Tipp.

Sei also x in erz (A). Und da A Teilmenge U ist dieses x auch in U. Weil U nun Untergruppe ist und A Teilmenge U, folgt erz (A) Teilmenge U.

Sehr unsicher ob man das so machen kann...
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RE: Erzeugte Untergruppe
Zitat:
Original von Hoptima
Sei also x in erz (A). Und da A Teilmenge U ist dieses x auch in U

Da fehlt jegliche Begründung, aber das ist dir allem Anschein nach selbst schon aufgefallen.

Warum gehst du nicht so vor, wie ich geschrieben habe?
Sei x ein Element von erz(A). Dann gibt es mit und ferner gilt oder

Jetzt begründe, warum gilt und warum daraus folgt.

Damit hast du dann gezeigt, dass erz(A) Teilmenge von U ist
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