Bergwerkstollen vektoriell berechnen
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06.10.2022, 21:56 Freyyyy Auf diesen Beitrag antworten »
Bergwerkstollen vektoriell berechnen
Meine Frage:
Vom Punkt A(-7-3-8) ausgehend soll durch den Punkt B(-2|0|- 9) ein geradliniger Stollen namens Kuckucksloch in einen Berg getrieben werden. Ebenso soll ein Stollen namens Morgenstern von Punkt C(4|- 6|-6) ausgehend über den Punkt D(7|-1|-8) geradlinig gebaut werden. Eine Einheit entspricht 100 m. Die Erdoberfläche liegt in der x-y-Ebene.
a) Prüfen Sie, ob die Ingenieure richtig gerechnet haben und die Stollen sich wie geplant in einem Punkt S treffen
b) Im Stollen Kuckucksloch kann die Bohrung um 5 m pro Tag vorangetrieben werden. Wie hoch muss die Bohrleistung im Stollen Morgenstern durch C und D sein, damit beide Stollen am selben Tag den Vereinigungspunkt S erreichen?
c) Von Punkt S aus wird der Stollen Kuckucksloch weiter in Richtung fortgesetzt. In welchem Punkt P erreicht der Stollen die Erdoberfläche?

Meine Ideen:
Ich habe bei a) die geradengleichungen raus:

gAB: x= (-7|-3|-8)+r(5|3|-1)

hCD: x= (4|-6|-6)+s(3|5/-2)

Ich weiß auch dass sie sich schneiden durch Gleichsetzung aber wenn ich das Gleichungssystem aufstelle finde ich irgendwie keinen Weg ihn aufzulösen. Kann mir da jemand bitte schrittweise erklären wie er/sie das macht?

Bei b) und c) wäre ne Erklärung, keine Lösung, auch super!
06.10.2022, 22:19 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Schnittpunkt S setzt du beide Parametergleichungen (x) gleich.
Dabei entsteht beim zeilenweisen Anschreiben ein LGS (lin. Gleichungssystem) von 3 Gleichungen in den 2 Variablen r und s.

In der Regel werden nun 2 Gleichungen ausgewählt, diese nach r und s aufgelöst und dann - das ist wichtig - die Lösung (r, s) in die 3. Gleichung eingesetzt.
Falls ein Schnittpunkt existiert, wird sich eine Identität ergeben.

Dein Ansatz ist richtig.

(1) 5r - 3s = 11
(2) 3r - 5s = -3
(3) -r + 2s = 2

Vorschlag, wie es leicht geht: Löse die Gleichungen (2) und (3) und setze die Resultate in Gleichung (1) ein.

Rechne mal dies, zu den anderen Fragen kommen wir dann nachher.

mY+
06.10.2022, 23:15 goofy-paf Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bergwerkstollen vektoriell berechnen
Also zu a)
Die im Bild gezeigten 3 Gleichungen sind richtig. Dies ist ein überbestimmtes LGS, da es 3 Gleichungen mit nur 2 Unbestimmten sind. D.h. die beiden Unbestimmten r und s sind aus schon aus 2 Gleichungen
zu bestimmen.

Edit (mY+): Weitere Textteile entfernt

b) Um die Aufgabe zu berechnen, muss man erst bestimmen, wie lange es dauert, bis man über das Kuckucksloch (Gerade AB) den Punkt S erreicht. Hierzu berechnet man den Abstand zwischen dem Punkt A und dem Punkt S (Ergeb: ..... Bei dem Vortrieb von 5m/Tag dauert es also ..... Jetzt wird der Abstand zwischen dem Punkt C und dem Punkt S berechnet (Ergeb: ....). Der Vortrieb für Morgenstern berechnet sich aus dieser Länge dividiert durch die (gleiche) Zeit von .... Tagen, also ergibt sich 3,9m/Tag, gerundet 4m/Tag.
c) Die Aufgabenstellung ist unvollständig, da in der Angabe die Richtung fehlt. ..."weiter in Richtung ???", kann also nicht konkret gelöst werden.

Edit (mY+): Textteile mit Lösungen entfernt.
06.10.2022, 23:26 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@goofy-paf Meister Silberlocke
Hallo!
Bevor du frisch fröhlich einfach hier in den Thread springst und dich einmischt, ungeachtet dessen, ob nicht schon ein Helfer hier am Werk ist und außerdem noch Komplettlösungen postest, lies dir bitte mal die Boardregeln durch!

Daher werde ich deine Antwort mal aufs Eis legen bzw. entsprechend editieren, sorry.
Deinen kompletten Beitrag habe ich zunächst in einen unsichtbaren Bereich verschoben, von wo er gegebenenfalls wieder hergestellt werden kann.

Übrigens, c) ist nicht unvollständig und kann wohl beantwortet werden. Die Richtung ist die der Geraden. Denn die Gleichung von Kuckucksloch ist bekannt und die Gerade ist so weit fortzusetzen, bis z = 0 erreicht ist.

mY+
18.10.2022, 21:01 mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nach beinahe 2 Wochen Desinteresse seitens des Fragestellers--
Hier der gesamte Beitrag von goofy-paf:

Zitat:
Also zu a)
Die im Bild gezeigten 3 Gleichungen sind richtig. Dies ist ein überbestimmtes LGS, da es 3 Gleichungen mit nur 2 Unbestimmten sind. D.h. die beiden Unbestimmten r und s sind aus schon aus 2 Gleichungen zu bestimmen. Ich habe z.B. Gleichung I und III genommen und dann kommt r=4 und s=3 heraus. Einen Schnittpunkt der zwei Geraden im Raum gibt es allerdings nur dann, wenn diese zwei Werte auch die dritte Gleichung, in meinem Fall Gleichung II erfüllen. Dies ist hier der Fall und somit gibt es den Schnittpunkt S, der sich z.B. aus der Gerade AB ergibt, wenn man r=4 einsetzt. S(13/9/-12). Wäre die Gleichung II nicht erfüllt, dann wären die beiden Geraden windschief, würden also im R3 aneinander vorbeilaufen.
b) Um die Aufgabe zu berechnen, muss man erst bestimmen, wie lange es dauert, bis man über das Kuckucksloch (Gerade AB) den Punkt S erreicht. Hierzu berechnet man den Abstand zwischen dem Punkt A und dem Punkt S (Ergeb: 23,66 Einheiten, d.h. ca. 2370m). Bei dem Vortrieb von 5m/Tag dauert es also 474 Tage. Jetzt wird der Abstand zwischen dem Punkt C und dem Punkt S berechnet (Ergeb: 18,49 Einheiten, d.h. ca. 1850m). Der Vortrieb für Morgenstern berechnet sich aus dieser Länge dividiert durch die (gleiche) Zeit von 474 Tagen, also ergibt sich 3,9m/Tag, gerundet 4m/Tag.
c) Die Aufgabenstellung ist unvollständig, da in der Angabe die Richtung fehlt. ..."weiter in Richtung ???", kann also nicht konkret gelöst werden.

mY+
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