L1 und Unendlichkeitsnorm sind äquivalent

09.10.2022, 10:49

Der_Apfel

L1 und Unendlichkeitsnorm sind äquivalent

Ich soll beweisen, dass die L1 norm und die Unendlichkeitsnorm für Polynome des grades <= 1 mit einer Konstanten gegeneinander abgeschätzt werden können.

Dabei ist

$\begin{eqnarray*} ||f||_1 = \int_a^b |f| dx \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} ||f||_{\infty} = \text{sup}\{|f(x)|, x \in [a,b]\} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun z.B. $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ als Beispiel nehme im Interval $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} ||f||_1 = \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||f||_{\infty} = b \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich die nun mit einer Konstanten gegeneinander abschätzen?

Wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x) = c \end{eqnarray*}$ habe (also ein konstanter Wert) dann ist der Unterschied zwischen dem Integral und dem maximalen Wert doch am größten (d.h. das wäre die obere Abschätzung) - oder?

Dann hab ich

$\begin{eqnarray*} ||f||_1 = bc - ac = c(b - a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||f||_{\infty} = c \end{eqnarray*}$

Ich könnte dann schreiben $\begin{eqnarray*} ||f||_1 = ||f||_{\infty} \cdot (b - a) \end{eqnarray*}$ .

Aber was ist die untere Abschätzung?

Mag mir jemand einen Tipp geben?

09.10.2022, 12:21

IfindU

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RE: L1 und Unendlichkeitsnorm sind äquivalent
Die Konstante wird von den konstanten $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ abhängen. Man kann relativ leicht zeigen, dass oBdA ausreicht $\begin{eqnarray*} a = 0, b = 1 \end{eqnarray*}$ zu betrachten. (Substitutionsregel)

Dann kommt mal auch nicht so leicht zu so falschen Ergebnissen:

Zitat:

Original von Der_Apfel
$\begin{eqnarray*} ||f||_1 = \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||f||_{\infty} = b \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a = -1, b = 0 \end{eqnarray*}$ ist der erste Term negativ, für $\begin{eqnarray*} a=-2, b = -1 \end{eqnarray*}$ ist (auch) der zweite Term negativ. Für Normen wäre das katastrophal. Das liegt daran, dass du $\begin{eqnarray*} \int_a^b f dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{sup}\{f(x), x \in [a,b]\} \end{eqnarray*}$ berechnest, d.h. die Betragsstriche komplett ignoriert hast.

Ansonsten gilt $\begin{eqnarray*} \| f\|_{L^1} \leq \| f \|_{L^\infty} \end{eqnarray*}$ für das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ , d.h. man muss nur zeigen, dass eine Konstante $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} \| f\|_{L^1} \geq c\| f \|_{L^\infty} \end{eqnarray*}$ . Hier kann man dann $\begin{eqnarray*} f(x) = mx + n \end{eqnarray*}$ einsetzen und (sauber!) mit Betragsstrichen durchrechnen. Dann kommt man (mit einigen Fallunterscheidungen...) auf die gewünschte Konstante.

09.10.2022, 13:01

Der_Apfel

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Warum reicht es a=0, b=1 zu betrachten?

Ich kann dem nicht ganz folgen.

09.10.2022, 13:40

IfindU

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Gegenfrage: Was hast du denn versucht, um die Aussage zu zeigen (d.h. die Aussage, dass es für a=0,b=1 man die Normäquivalenzkonstanten für alle a,b herleiten kann)?

Ansonsten ist der Raum der affinen Funktionen ein endlich-dimensionaler Untervektorraum der stetigen Funktionen. Und bei endlich-dimensionalen Vektorräumen sind ALLE Normen äquivalent. D.h. mit der Aussage ist man auch direkt am Ziel.

09.10.2022, 13:59

Der_Apfel

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Ich bin mit der Aufgabe an sich überfordert.

Wenn ich die Funktion -50x + 0 in [0,1] habe, dann sind doch

$\begin{eqnarray*} ||f||_1 = 25, ||f||_{\infty} = 50 \end{eqnarray*}$

Also wäre hier $\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$ ?

Hier hängt doch c eher von m und n ab, also von der Funktion selber?

Und ich weiß nicht warum ich beweisen sollte, dass alle Normen äquivalent sind - das klingt schwieriger als meine Aufgabenstellung.

09.10.2022, 15:09

IfindU

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Das mit den Normen ist eine klassische Aussage, wird normalerweise im ersten Semester bewiesen.

Was du tun musst, ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = mx + n \end{eqnarray*}$ zu nehmen, und dort die Normen auszureichnen. Die Konstante darf nicht von $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ abhängen.

Man kann z.B. sofort sehen, dass das Maximum und Minimum am Rand, d.h. für $\begin{eqnarray*} x \in \{0, 1\} \end{eqnarray*}$ angenommen wird. Damit ist $\begin{eqnarray*} \| f\|_\infty = \max(|n|, |m+n|) \end{eqnarray*}$ . Die $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ ist etwas kompliziert, weil man positive und negative Teile haben kann. Für $\begin{eqnarray*} m \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist die eindeutige Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0 = -\frac {n}m \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \not \in (0,1) \end{eqnarray*}$ , dann hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein eindeutiges Vorzeichen im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \int_0^1 |f(x)| dx =\left| \int_0^{1} f(x) dx \right| = \left| \frac 1 2 m + n \right| \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann man überlegen, mit welcher Konstante $\begin{eqnarray*} c >0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \|f\|_{L^1} \geq c \|f\|_{L^\infty} \iff \left| \frac 1 2 m + n \right|\geq c \max(|n|, |m+n|) \end{eqnarray*}$ . Das kann man elementar zeigen (z.B. durch quadrieren).

Wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \in (0,1) \end{eqnarray*}$ ist, wird es etwas unangenehm. Dann $\begin{eqnarray*} \int_0^1 |f(x)| dx = \left | \int_0^{x_0} f(x) dx \right | + \left | \int_{x_0}^{1} f(x) dx \right | \end{eqnarray*}$ . Einfaches ausrechnen liefert dann $\begin{eqnarray*} \|f\|_{L^1} = \left | \frac 1 2 m x_0^2 + n x_0 \right | + \left | \frac 1 2 m + n -\frac 1 2 m x_0^2 - n x_0 \right | \end{eqnarray*}$ .

Einsetzen von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ liefert dann noch $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 m x_0^2 + n x_0 = -\frac n {2m} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \|f\|_{L^1} = \frac 1 2 n^2 \frac 1 {|m|} + \left | \frac 1 2 m + n + \frac 1 2 n^2 \cdot \frac 1 m \right| = \frac 1 2 |n x_0| + \left | \frac 1 2 m + n - \frac 1 2 n \cdot x_0 \right| \geq \left | \frac 1 2 m + n - \frac 1 2 n \cdot x_0 \right| \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man wieder elemantar die Existenz des $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nachweisen, wobei man benutzen muss, dass $\begin{eqnarray*} x_0 \in (0,1) \end{eqnarray*}$ .

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