Geometrische Folge: Folgenglieder berechnen

10.10.2022, 12:41

Karschti

Geometrische Folge: Folgenglieder berechnen

Hallo,

kann mir bitte jemand sagen, wie man die folgende Aufgabe löst? Mich würde die Denkweise und die herangehensweise sehr interesieren? Kann die jamnd mal proberechnen und erklären. Das wäre super nett.

10.10.2022, 13:12

mYthos

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Ausschließlich Ergebnisse werden hier NICHT gepostet.
Du wirst dich schon damit auseinandersetzen müssen, den Rechenweg zu begreifen und auch selbst nachzuvollziehen.

Verwende:

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$

q ist der Quotient der geometrischen Folge. Berechne zuerst diesen, damit dann a2 und a5.
Elegant geht's in diesem Fall mit a2 = a1*q, a5 = a6/q

mY+

10.10.2022, 13:16

Karschti

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Dankeschön. Die Formel kannte ich nur der Rechenweg. Kannst Du das bitte mal ausführklich rechnen, das ich den Rechenweg verstehe.. Das wäre super. Dankeschön.

10.10.2022, 13:24

mYthos

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Nochmals: Die ausführliche Rechnung ist deine Challenge, wir führen dich aber gerne dorthin.
Bitte mal das Boardprinzip durchlesen!

Wenn du die Formel kennst, musst du sie nur noch anwenden. Also die bekannten Werte dort einsetzen und die unbekannten daraus berechnen.

$\begin{eqnarray*} 3152 = 32 \cdot q^5 \ ; \ \ n = 6, \ n-1 = 5 \end{eqnarray*}$

Kannst du jetzt q berechnen?

mY+

10.10.2022, 13:47

Karschti

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Hallo,

danke. Ja können will ich das schon, nur woher ziehst du jetzt die 6?

10.10.2022, 14:04

mYthos

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Laut Angabe ist a_6 mit 3152 gegeben (das 6. Glied, also ist hier n = 6).

mY+

10.10.2022, 14:19

Karschti

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Okay. Wieder was verstand. Die Höchste Potenz ist als die Höchst a=? Zahl.

Und nein, ich kann nicht nach q auflösen. Wie gehe ich dann weider mit q vor?

10.10.2022, 14:27

KonverDiv

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Du hast doch nun:

$\begin{eqnarray*} 3152 = 32 \cdot q^5 \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt nach $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ aufzulösen, betrachte das einfach als das was es ist, eine Gleichung...

$\begin{eqnarray*} \frac{3152}{32} = q^5 \end{eqnarray*}$

Weiter geht's...

10.10.2022, 14:38

Karschti

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Super danke.

Somit habe ich q5 ermittelt = 98,5

Nun wieder vom Anfang?

3152=32 x q hoch5 ; n=5, n-1=4

Was muss ich jetzt einsetzen?

10.10.2022, 14:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von KonverDiv
$\begin{eqnarray*} \frac{3152}{32} = q^5 \end{eqnarray*}$

Weiter geht's...

...mit dem Ziehen der fünften Wurzel - gleichbedeutend mit der Potenzierung mit Exponent $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ .

Übrigens: Steht da wirklich $\begin{eqnarray*} a_6=3152 \end{eqnarray*}$ oder nicht doch eher $\begin{eqnarray*} a_6=3125 \end{eqnarray*}$ ? Mein Verdacht rührt daher, dass Schulaufgaben meist zu schön "runden" Lösungen neigen. Augenzwinkern

10.10.2022, 15:21

Karschti

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Hallo,

nein da steht: 3152.

Leider komme ich nicht weiter im nächsten Scchritt.

10.10.2022, 15:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
...mit dem Ziehen der fünften Wurzel - gleichbedeutend mit der Potenzierung mit Exponent $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ .

Ist das so unverständlich? Auf $\begin{eqnarray*} q^5 = \frac{3152}{32} \end{eqnarray*}$ angewandt bedeutet es $\begin{eqnarray*} q = \sqrt[5]{\frac{3152}{32}} = \left(\frac{3152}{32}\right)^{\frac{1}{5}}\approx 2.5043 \end{eqnarray*}$

Im Falle von $\begin{eqnarray*} a_6=3125 \end{eqnarray*}$ kommt übrigens glatt $\begin{eqnarray*} q = \sqrt[5]{\frac{3125}{32}} = \frac{5}{2} = 2.5 \end{eqnarray*}$ heraus.

10.10.2022, 16:13

Karschti

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Vielen lieben Dank.
Sorry jetzt wurde es klar.

Und bei jeder anderen Folge muss ich z.B. die 4 oder 3 Wurzel nehmen?
Ist das so richtig?

10.10.2022, 17:18

mYthos

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Du nimmst jene Wurzel, die die Potenz in der Gleichung anzeigt.
Also bei $\begin{eqnarray*} q^3 \end{eqnarray*}$ die dritte, bei $\begin{eqnarray*} q^4 \end{eqnarray*}$ die vierte Wurzel, usw.

Zitat:

Original von HAL 9000
...Im Falle von $\begin{eqnarray*} a_6=3125 \end{eqnarray*}$ kommt übrigens glatt $\begin{eqnarray*} q = \sqrt[5]{\frac{3125}{32}} = \frac{5}{2} = 2.5 \end{eqnarray*}$ heraus.

Jawohl. Mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit hat sich daher der Autor der Aufgabe verschrieben.

mY+

01.11.2022, 15:43

Karschti

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Also,
bei solchen Aufgaben gehe ich wie folgt vor:
ich nehme das Höchste Glied in dem Fall A6 teile es durch das niedrigste und habe dammit mein=N.
Um nun das Glied 5 auszurechnen, nehme ich die da ja Glied 5 die fünte Wurzel aus 3125 / 25 also die fünfte Wurzel aus der division des höchsten und des niedrigsten Glieds???

Kurzfassung, oder?

01.11.2022, 15:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Karschti
ich nehme das Höchste Glied in dem Fall A6 teile es durch das niedrigste und habe dammit mein=N.

Nein.

Zitat:

Original von Karschti
Um nun das Glied 5 auszurechnen, nehme ich die da ja Glied 5 die fünte Wurzel aus 3125 / 25 also die fünfte Wurzel aus der division des höchsten und des niedrigsten Glieds???

Diesem Satz kann ich nicht mal grammatikalisch folgen, geschweige denn dessen Sinn ergründen. unglücklich

01.11.2022, 17:10

Karschti

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Also ich habe nun hier nochmals die Aufgabe samt den Lösungen. Passt das so?

a1= 32
a6= 3125

5Wurzel 3125/32 =2,5 entspricht a5

4Wurzel 3125/32 = 3,14358 entspricht a4

3Wurzel 3125/32 = 4,6050 entspricht a3

2Wurzel 3125/32 = 9,88211 entspricht a2

Ist das alles so richtig ?

Man berechnet erst das q und zieht immer n-1 ab und zieht je nachdem die Wurzel.

Passt das alles so?

01.11.2022, 18:35

Karschti

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Passt das alles so?

Kann mir jemand mal die Ergenisse bitte prüfen.

Lieben Dank

03.11.2022, 00:38

mYthos

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Zitat:

Original von Karschti
...
Ist das alles so richtig ?

Man berechnet erst das q und zieht immer n-1 ab und zieht je nachdem die Wurzel.

Passt das alles so?

Nein, überhaupt nicht!
Nachdem q berechnet wurde, ist ein Wurzelziehen in keiner Weise mehr nötig und auch in der Weise falsch, wie du das gerechnet hast!

Nochmals von vorn:

$\begin{eqnarray*} a_1 = 32, \ a_6= 3125 \ \to \ a_6 = a_1 \cdot q^5 \ \to \ q^5 = \frac {3125} {32} \ \to \ q = \sqrt[5] {\frac {3125} {32}} = \frac 5 2 \end{eqnarray*}$

Dass hier die 5. Wurzel zu berechnen ist, folgt einfach aus der Tatsache, dass in der Gleichung q in einer 5. Potenz steht.
Ab jetzt bekommst du die weiteren Glieder der Folge, in dem du immer weiter mit 5/2 multiplizierst:

$\begin{eqnarray*} a_1 = 32, \ a_2 = 32 \cdot \frac 5 2 = 80, \ a_3 = 80 \cdot \frac 5 2 = 200, \ a_4 = ..., \ a_5 = ... \end{eqnarray*}$ und a6 muss sich auf diesem Weg wieder zu 3125 ergeben. Rechne nach!

Freilich lassen sich die Glieder auch immer aus dem ersten Glied a1 multipliziert mit der jeweiligen Potenz von q berechnen. So ist vor allem bei einer höheren Anzahl von Gliedern zu verfahren.

Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} a_9 = a_1 \cdot q^8 = 32 \cdot \left(\frac 5 2 \right)^8 = \frac{32 \cdot 5^8} {2^8} = \frac{5^8} 8 = ... \end{eqnarray*}$

Somit gibt es immer Potenzen von 5/2, aber niemals sind hier verschiedene Wurzeln zu berechnen (!), wie du das gemacht hast.

mY+

04.11.2022, 12:30

Karschti

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Hallo,

rechne mir doch bitte mal a5 oder a4 aus. Ich verstehe es nicht. Unsere Unterlagen sind extrem schlecht. Mit dem Internet komme ich hier nicht weiter. Mit deinen Ausführungen stehe ich im Wald. Einfach ein Beispiel mit Erklärung. Lieben Dank.

04.11.2022, 12:31

Karschti

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Warum steht bei mri bei jedem Beispiel hier: [Math Processing Error]

Ich serhe nur rot: [Math Processing Error]

04.11.2022, 12:42

Karschti

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Was muss ich jetzt wie machen ein folgeglieg bitte.

04.11.2022, 13:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Karschti
rechne mir doch bitte mal a5 oder a4 aus. Ich verstehe es nicht.

Du kannst dir nicht vorstellen, wie man

$\begin{eqnarray*} a_1 = 32, \ a_2 = 32 \cdot \frac 5 2 = 80, \ a_3 = 80 \cdot \frac 5 2 = 200 \end{eqnarray*}$

fortsetzt? Das ist ein ziemliches Armutszeugnis. unglücklich

$\begin{eqnarray*} a_4 = 200 \cdot \frac 5 2 = 500, \ a_5 = 500 \cdot \frac 5 2 = 1250 \end{eqnarray*}$

04.11.2022, 14:35

mYthos

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@HAL: Bitte .....

Zitat:

Original von Karschti
...
Ich verstehe es nicht. Unsere Unterlagen sind extrem schlecht. Mit dem Internet komme ich hier nicht weiter. Mit deinen Ausführungen stehe ich im Wald. Einfach ein Beispiel mit Erklärung. Lieben Dank.

Das verstehe ICH mal nicht!
Das haben wir dir doch auch schon vorgerechnet, hast du dies eigentlich gelesen, was sollen wir noch machen?

Zuerst sollst du verstehen, wie eine geometrische Folge aufgebaut ist.
Es gibt ein Anfangsglied und dann einen Multiplikator, er heißt Quotient* (q)

z.B.: a1 = 3; q = 2, dann geht es so: 3, 6, 12, 24, ... $\begin{eqnarray*} a_n = 3 \cdot 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

Was ist daran so schwer?

(*)
Quotient deswegen, weil der Quotient zweier aufeinanderfolgenderGlieder immer gleich q ist:
24/12 = 48/24 = ... = 384/192 = 2

Geometrisch deswegen, weil bei drei aufeinanderfolgenden Gliedern das Mittelglied das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder ist:
$\begin{eqnarray*} .., 6, 12, 24, .. \ \to \ 12 = \sqrt{6 \cdot 24} = \sqrt{144}=12 \end{eqnarray*}$

mY+

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