Distanz zwischen Basisvektor und Span

10.10.2022, 13:56	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Distanz zwischen Basisvektor und Span Hallo Mal angenommen ich habe einen Span, wie etwa $\begin{eqnarray} X = span \left\{b_1, ..., b_{i-1},b_{i+1},...,b_n\right\} \end{eqnarray}$ und einen Vektor $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ , wobei die $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ 's Basisvektoren darstellen. Wie (wenn das überhaupt geht) kann man die Distanz zwischen dem Vektor $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ und dem Span $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ berechnen? Ginge das über Gram-Schmidt? Ich bin mir nicht ganz sicher, da die Vektoren ja Basisvektoren sind und damit orthogonal sind... Danke für kommende Antworten!
10.10.2022, 14:36	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Distanz zwischen Basisvektor und Span Das ist, abgesehen von der Normierung, genau das was bei Gram-Schmidt passiert: Berechne w:=x-(Bestapproximierende an x im Unterraum) Die Länge von w ist dann der Abstand von x zum Unterraum
10.10.2022, 14:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Distanz zwischen Basisvektor und Span Da gibt es einiges zu entpacken: Vektorräume haben a priori keinen Begriff von Distanz, Längen oder Winkel. Dafür muss man den Vektorraum mit zusätzlicher Struktur ausstatten: Mit einer Metrik, dann kann man über Entfernungen reden. Mit einer Norm, dann kann man über Längen reden. Mit einem Skalarprodukt, dann kann man über Winkel (und damit über Orthogonalität) reden. Das sind aber alles zusätzliche Eigenschaften. D.h. Basen haben erst einmal nichts mit Orthogonalität zu tun. Zudem können Basen zu einem Skalaprodukt orthogonal sein, in einem anderen nicht. Wenn man aber ein Skalarprodukt hat, dann gibt es eine orthogonale Basis. D.h. nicht, dass alle Basen orthogonal sind.
10.10.2022, 14:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Distanz zwischen Basisvektor und Span @IfindU: Ich dachte mir das gleiche Aber wenn unser Fragesteller schon mit orthogonalen Basen daherkommt, wird er sich all dieser Feinheiten hoffentlich schon bewusst sein und ich kann mir die Arbeit sparen. Soweit die Theorie
11.10.2022, 14:36	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Beiträge! Wie kann ich mir "w:=x-(Bestapproximierende an x im Unterraum)", denn genauer vorstellen? Wie finde ich denn die Bestapproximierende, ist das eine Art von Ausgleichsproblem? Bzw. liefe das auf sowas wie $\begin{eqnarray} \alpha_i b_i \approx \alpha_1 b_1 + ... + \alpha_{i-1} b_{i-1} + \alpha_{i+1} b_{i+1} + ... + \alpha_n b_n \end{eqnarray}$ hinaus?
13.10.2022, 09:11	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie der Name schon sagt ist die Bestapproximierende an x im Unterraum U der Vektor $\begin{eqnarray} u\in U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \\|x-u\\|)=\inf_{w\in U}\\|x-w\\| \end{eqnarray}$ Ist man in der angenehmen Situation, eine ONB $\begin{eqnarray} b_1,b_2,\ldots ,b_k \end{eqnarray}$ von U zu kennen, dann ist einfach $\begin{eqnarray} u=\sum <x,b_i>b_i \end{eqnarray}$ die Bestapproximierende ( $\begin{eqnarray} <.,.> \end{eqnarray}$ ist das Skalarprodukt) Das kann man tatsächlich einfach nachrechnen, wenn man $\begin{eqnarray} w=\sum \lambda_i b_i \end{eqnarray}$ ansetzt und dann $\begin{eqnarray} \\|x-w\\|^2 \end{eqnarray}$ mininmiert (quadratische Ergänzung) Geometisch ist die Bestapproximierende der Fußpunkt des Lotes von x auf U.
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