Positive Steigung in einer Umgebung

10.10.2022, 16:54

HiBee123

Positive Steigung in einer Umgebung

Hallo Matheboard,

es geht um folgende Frage:
Sei f stetig gegeben. Sei f'(x_0)>0 in einem Punkt x_0. wieso ist dann f'>0 für eine Umgebung von x_0.

Theoretisch ist mir das klar. wegen der Stetigkeit muss das gelten, da sich in hinreichend kleinen Abständen die Funktionswerte auch hinreichend klein bleiben und somit die Steigung positiv bleibt.
Aber das einfach so zu erklären reicht glaube ich nicht, deshalb meine Frage: Wie kann ich diese Gedanken formalisieren?

Danke schonmal und Liebe Grüße!

Eure HiBee

10.10.2022, 17:05

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RE: positive Steigung in einer Umgebung

Zitat:

Original von HiBee123
Sei f stetig gegeben. Sei f'(x_0)>0 in einem Punkt x_0. wieso ist dann f'>0 für eine Umgebung von x_0.

Wer sagt, dass das so ist?
Die Ableitung muss nicht stetig sein. Ein bekanntes Beispiel ist die reelle Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\sin(\frac 1 x), x\neq 0 \end{eqnarray*}$

10.10.2022, 17:08

HiBee123

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RE: positive Steigung in einer Umgebung
unser Professor... vielleicht habe ich mich missverständlich ausgedrückt. Also wenn f stetig diffbar ist und f'(x_0)>0 EXISTIERT eine Umgebung so dass f'(x)>0 für alle x in dieser Umgebung.

hatte mich verlesen, so hieß der Satz wirklich

10.10.2022, 17:08

HiBee123

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RE: positive Steigung in einer Umgebung
Ach so. ja stetig diffbar war gegeben, sorry. hatte ich übersehen.

10.10.2022, 17:15

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RE: positive Steigung in einer Umgebung
Dann ist es natürlich offensichtlich richtig smile

10.10.2022, 17:44

HiBee123

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RE: positive Steigung in einer Umgebung
echt? Reicht es also so zu argumentieren, dass bei einer stetigen Funktion in einer Umgebung auch die Funktionswerte nicht so weit voneinander sein können und somit gilt die Aussage? Ich hätte erwartet, dass man das noch formalisieren muss? Aber wenns so geht ist ja prima Freude

10.10.2022, 17:55

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RE: positive Steigung in einer Umgebung
Ob es deinem Professor reicht, kann ich dir nicht sagen. Zur Übung könntest du es ja mal formal aufschreiben. $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ lassen grüßen

Edit

Zitat:

da sich in hinreichend kleinen Abständen die Funktionswerte auch hinreichend klein bleiben

so ein wirres Zeug wird sicher nicht reichen Big Laugh

10.10.2022, 18:20

HiBee123

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RE: positive Steigung in einer Umgebung
Okay also wegen der stetigen diffbarkeit existiert zu jedem epsilon ein delta, so dass für |x-y|<delta
folgt, dass |f'(x)-f'(y)|<epsilon. wir haben f(x_0)>0 gegeben, jetzt wählen wir einen Ball, so dass f(x_0)+epsilon und f(x_0)-epsilon beide positiv sind, dann finden wir eine deltaUmgebung, so dass f(x_0+delta)<f(x_0)+epsilon und f(x_0-delta)>f(x_0)+epsilon wegen der stetigen diffbarkeit. und somit existiert eine Umgebung wo die Steigung positiv ist.

Besser? Oder immer noch wirres Zeug? smile

10.10.2022, 18:37

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RE: positive Steigung in einer Umgebung
Gut angefangen

Zitat:

Original von HiBee123
Okay also wegen der stetigen diffbarkeit existiert zu jedem epsilon ein delta, so dass für |x-y|<delta
folgt, dass |f'(x)-f'(y)|<epsilon.

nicht perfekt, weil bei dir das $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ der Aufgabe nicht auftaucht und auch unklar ist, ob du Stetigkeit im Punkt x oder y ausdrücken willst.
aber dann komplett vermurkst unglücklich

Zitat:

Original von HiBee123
wir haben f(x_0)>0 gegeben, jetzt wählen wir einen Ball, so dass f(x_0)+epsilon und f(x_0)-epsilon beide positiv sind, dann finden wir eine deltaUmgebung, so dass f(x_0+delta)<f(x_0)+epsilon und f(x_0-delta)>f(x_0)+epsilon wegen der stetigen diffbarkeit. und somit existiert eine Umgebung wo die Steigung positiv ist.

Da steht f statt der Ableitung von f
f(x_0+delta)<f(x_0)+epsilon und f(x_0-delta)>f(x_0)+epsilon macht eine Aussage über genau zwei Punkte.

Du hattest doch schon alles beisammen:
Zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon = f'(x_0)/2>0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein delta, so dass für $\begin{eqnarray*} |x_0-y|<\delta \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} |f'(x_0)-f'(y)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Jetzt musst mit der letzten Ungleichung nur noch $\begin{eqnarray*} f'(y)>0 \end{eqnarray*}$ begründen.

10.10.2022, 18:44

HiBee123

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RE: positive Steigung in einer Umgebung
Ah ja.
|f'(x_0)-f'(y)|<epsilon=f'(x_0)/2
somit ist f'(x_0)/2<f'(y)< 1,5*f'(x_0) und somit ist f'(y) positiv

Ja hast Recht.
Ich meinte f'(x) statt f(x) und das hat ein ziemliches Kuddelmuddel gegeben...

10.10.2022, 19:42

Finn_

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Der Sachverhalt folgt auch unschwer aus den folgenden beiden Umständen:

1. Das Urbild einer offenen Menge unter einer stetigen Abbildung ist stets offen.

2. Per Definition ist jeder Punkt einer offenen Menge der Mittelpunkt einer offenen Kugel, die Teilmenge der offenen Menge ist.

Es ist lediglich das Urbild einer offenen Menge positiver Werte zu betrachten, die den positiven Funktionswert enthält.

10.10.2022, 19:55

HiBee123

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Ja okay. So in etwa hab ich das ja auch gemacht. Dankeschön! smile

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