Vollständiger Raum

10.10.2022, 20:28

HiBee123

Vollständiger Raum

Hallo Matheboard!

Meine Frage: Wieso ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit der euklidischen Norm vollständig?

die Idee: Also vollständig heißt ja, das jede Cauchyfolge im Raum auch im Raum konvergiert. Bereits bekannt ist, dass R mit der euklidischen Norm vollständig ist ich würde das gerne auf diesen Fall zurückführen, weiß aber grade nicht wie...

Gruß,

eure HiBee

10.10.2022, 20:53

IfindU

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l^2 vollständig

Mit der gleichen Idee wie hier, bloß einfacher.

11.10.2022, 10:53

HiBee123

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Hallo IfindU Wink

erstmal danke für deine zahlreichen Antworten! Du hast mir echt schon ein gutes Stück weitergeholfen.
und dann Entschuldigung bitte, diesen Beitrag von dir scheine ich übersehen zu haben (ist deshalb mein Name rot markiert?)

Ich verstehe leider noch nicht so ganz wie ich das hier anwenden soll...ich würde meinen es geht irgendwie so: Jede Cauchyfolge ist beschränkt.wenn x=(x_1,...,x_n) ist , ist insbesondere jedes x_i beschränkt und somit folgt mit dem Vollständigkeitsaxiom der Reellen Zahlen die Konvergenz... aber das alleine find ich noch zu lasch....

Gruß,
HiBee.

ps.: und sorry nochmal für die übersehene Antwort!

11.10.2022, 11:30

IfindU

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Dein Name ist rotmarkiert, weil ich nach Beiträgen von dir gesucht habe und die Suche ihn deswegen hervorhob.

Was du zeigen kannst, jede Komponente ist eine Cauchy-Folge. Damit folgt, dass jede Komponente konvergiert. Beschränktheit ist ganz nett, aber daraus folgt nur, dass eine Teilfolge(!) konvergiert.

Sobald du hast, dass jede Komponente eine Cauchy-Folge hat, besitzt jede Komponente also einen Grenzwert. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass es in der Norm konvergiert.

11.10.2022, 18:45

HiBee123

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okay, also wenn ich eine Cauchyfolge in R^n habe und ||x-y||<epsilon wird dann gilt für jede Komponente |x_i-y_i|<=||x-y||<epsilon, also konvergiert jedes x_i gegen y_i und wegen des vollständigkeitsaxioms der reelllen Zahlen ist insbesondere y_i in R und somit konvergiert x gegen y, und y ist nach konstruktion auch in R^n.
So in etwa?

11.10.2022, 19:43

IfindU

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Von der Idee ja, aber von der Formalität ist unklar was passiert: Was ist das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ?

Besser wäre $\begin{eqnarray*} | x_i^{(l)} - x_i^{(k)} | \leq \| x^{(l)} - x^{(k)} \|_{\mathbb R^n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i = 1, \ldots, n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l,k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ beliebig: da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge ist, folgt, dass $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} \| x^{(l)} - x^{(k)} \|_{\mathbb R^n} < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} l, k \geq N \end{eqnarray*}$ und damit kann $\begin{eqnarray*} | x_i^{(l)} - x_i^{(k)} | \leq \| x^{(l)} - x^{(k)} \|_{\mathbb R^n} < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i = 1, \ldots, n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l,k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann man $\begin{eqnarray*} y_i = \lim_{k\to\infty} x_i^{(k)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i = 1, \ldots, n \end{eqnarray*}$ definieren.

Und nach Konstruktion genügt in meinen Augen nicht für Konvergenz. Während es mir für $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ klar ist, so musste ich (als ich dir damals geantwortet habe) googlen, waurm es für $\begin{eqnarray*} \ell^2 \end{eqnarray*}$ gilt.

Hier ist es einfacher, aber sollte man gemacht haben, also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \| x^{(k)} - y\|_{\mathbb R^n} = \ldots \end{eqnarray*}$ .

Jetzt du Augenzwinkern

13.10.2022, 14:58

HiBee123

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Ja gut, also einfach ausschreiben.
$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \| x^{(k)} - y\|_2 =\lim_{k\to\infty} \sqrt{ (x^{(k)}_1 - y_1)^2+(x^{(k)}_2 - y_2)^2+\cdots+x^{(k)}_n - y_n)^2 } \end{eqnarray*}$ .
und jetzt, wegen der Stetigkeit:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} \sqrt{ (x^{(k)}_1 - y_1)^2+(x^{(k)}_2 - y_2)^2+\cdots+x^{(k)}_n - y_n)^2 }= \sqrt{( \lim_{k\to\infty}x^{(k)}_1 - y_1)^2+(\lim_{k\to\infty}x^{(k)}_2 - y_2)^2+\cdots+(\lim_{k\to\infty}x^{(k)}_n - y_n)^2 } \end{eqnarray*}$ .
und das ist mit dem Vorherigen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{( \lim_{k\to\infty}x^{(k)}_1 - y_1)^2+(\lim_{k\to\infty}x^{(k)}_2 - y_2)^2+\cdots+(\lim_{k\to\infty}x^{(k)}_n - y_n)^2 } =\sqrt{(y_1 - y_1)^2+(y_2 - y_2)^2+\cdots+(y_n - y_n)^2 }=0 \end{eqnarray*}$ .

14.10.2022, 08:22

IfindU

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Perfekt! Was du insgesamt nutzen musstest, waren: Stetigkeit der Wurzelfunktion, Stetigkeit von Quadratfunktionen und (endliche!) Summen von stetigen Funktionen sind stetig.

Und genau beim letzten Punkt wird es noch einmal herausfordernd, wenn du es mit $\begin{eqnarray*} \ell^2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ zu tun hast. Dort ist die Konstruktion die gleiche, aber Konvergenz ist nicht mehr klar.

Allgemeiner: Das vorgehen entspricht den punktweisen Grenzwert von Funktionen zu ermitteln und somit eine potentielle Grenzwertfunktion zu erhalten. Sobald man von Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \{ 1, \ldots, n\} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ redet, findet man seeehr schnell Beispiele und Normen, wo der konstruierte Grenzwert gem. punktweiser Konvergenz nicht ausreicht für Normkonvergenz.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} f_n : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_n(x) = 1 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x > n \end{eqnarray*}$ und sonst $\begin{eqnarray*} f_n(x) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das konvergiert punktweise gegen $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , aber nicht bzgl. der Supremumsnorm.

Kurz: Nur weil man zeigen kann, dass nur ein Grenzwert überhaupt in Frage kommt, dieser tatsächlich der Grenzwert ist... Vielleicht gibt es einfach keinen!

14.10.2022, 10:06

Luftikus

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Zitat:

Original von HiBee123
okay, also wenn ich eine Cauchyfolge in R^n habe und ||x-y||<epsilon wird dann gilt für jede Komponente |x_i-y_i|<=||x-y||<epsilon, also konvergiert jedes x_i gegen y_i und wegen des vollständigkeitsaxioms der reelllen Zahlen ist insbesondere y_i in R und somit konvergiert x gegen y, und y ist nach konstruktion auch in R^n.
So in etwa?

Ja, du musst es nur ordentlich aufschreiben smile

Du betrachtest eine Cauchy-Folge von Vektoren $\begin{eqnarray*} (\vec x)_k \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \vec x_l - \vec x_m \end{eqnarray*}$ .

Durch deine Abschätzung mit der Ungleichung zeigst du, dass jede Komponente eine Cauchy-Folge $\begin{eqnarray*} x_{l,i}-x_{m,i} \end{eqnarray*}$ ist und wegen der Vollständigkeit von R in R konvergiert.
Das bedeutet aber, dass jede Cauchy-Vektorenfolge auch im R^n konvergiert, dieser also vollständig ist.

14.10.2022, 18:57

HiBee123

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Danke!

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