Partialbruchzerlegung

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11.10.2022, 20:06	Mathst	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung Meine Frage: Ich habe die Gleichung jetzt soweit umgestellt bekommen und das ist auch richtig bis hierhin allerdings scheitere ich momentan an der Partialbuchzerlegung des Nennerpolynoms. Ich weiß nicht wie ich da anfangen soll. Ich habe bereits in die Lösung die mir Vorliegt hineingeschaut und verstehe nicht wie man von : $\begin{eqnarray} m\int\!\frac{1}{45455-550y-0,52y^{2}} \, dy = \int \! 1 \, dx \end{eqnarray}$ ;nach umformung auf $\begin{eqnarray} \int\!\frac{1}{-87413+1058y+y^{2}} \, dy = -\frac{0,52}{m}t \end{eqnarray}$ ;kommt. Ich multipliziere doch auf beiden Seiten 0,52 damit landet rechts im Nenner die 0,52 warum vergrößern sich die Zahlen im Nenner auf der Linken seite? Ich hätte eigentlich so gerechnet: $\begin{eqnarray} m\int\!\frac{1}{45455-550y-0,52y^{2}} \, dy = \int \! 1 \, dx <=>\| * (-0,52) \end{eqnarray}$ und würde dann dass, erhalten. $\begin{eqnarray} m\int\!\frac{-0,52}{45455-550y-0,52y^{2}} \, dy = \int \! -0,52 \, dx \end{eqnarray}$ Das entspricht nicht der Lösung. Wie also kommt man auf die Lösung. Meine Ideen:* Zunächst weiß ich das es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion handelt. Nun muss ich zunächst die Nullstellen des Nennerpolynoms bestimmen.
11.10.2022, 20:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung An der Stelle hast du alles richtig gemacht (wenn man von der Unsauberkeit der Integrationsgrenzen absieht, welche schätzungsweise $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ sind). Soweit ich sehe ist die einzige Frage für dich, warum $\begin{eqnarray} \frac{1}{-87413+1058y+y^{2}} = \frac{-0,52}{45455-550y-0,52y^{2}} \end{eqnarray}$ ? Hilft es dir, wenn wir das so umschreiben $\begin{eqnarray} \frac{-0,52}{45455-550y-0,52y^{2}} = \frac 1 { \frac 1 {-0,52} (45455-550y-0,52y^{2})} \end{eqnarray}$ ? Jetzt bleibt ausmultiplizieren und ausrechnen, was rauskommt. P.S. An der Stelle ist noch nichts mit Partialbruchzerlegung passiert. Das würde gleich kommen, wenn du das Integral bestimmen möchtest.
11.10.2022, 20:42	Mathst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung Ja das habe ich jetzt verstanden tatsachlich, war das ja einfache Mathematik ich hatte irgendwie einen hänger. Jetzt liegt noch die Partielle Integration vor mir. Da ich ein Quadrat habe werden ja zwei Nullstellen vorhanden sein. Die muss ich herausfinden durch Probieren und dann die Werte einsetzen bzw als Linearfaktoren aufschreiben?
11.10.2022, 21:40	Mathst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung Ich komme bis zu diesem Punkt ab da weiß ich nicht mehr weiter. $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{y^{2}+1058y-87413 } \, dy \end{eqnarray}$ Nullstellen berechnen: $\begin{eqnarray} y^{2}+1058y-87413 = 0 \end{eqnarray}$ y1 = 77 y2 = -1135 $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{y^{2}+1058y-87413 } \, dy = \int \! \frac{A}{y-y1}+\frac{B}{y-y2} \, dy \end{eqnarray}$ Hauptnenner bestimmen Konstanten A und B berechnen: 1 = A(y-y2)+B(y-y1) allerdings kann ich sie ja nicht berechnen da mir y fehlt.
11.10.2022, 22:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
y ist beliebig, d.h. egal was du einsetzt, A,B müssen so gewählt sein, dass die Gleichheit stimmt. (D.h. konkret hier A=-B)
11.10.2022, 22:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
y "fehlt" ja nicht, es ist als (laufende) Variable auf beiden Seiten vorhanden. Vielmehr werden die Konstanten A, B mittels Koeffizientenvergleich berechnet: $\begin{eqnarray} \frac 1 {(y-77)(y+1135)} = \frac A {y-77} + \frac B {y+1135} \end{eqnarray}$ Nun mit dem gemeinsamen Nenner multiplizieren (d.h. er fällt dann weg) $\begin{eqnarray} 1 = Ay + 1135A + By - 77B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 = (A + B)y + 1135A - 77B \end{eqnarray}$ Die Terme links und rechts müssen identisch sein, also auch in dem Koeffizient von y und den Konstanten übereinstimmen. Links steht jetzt 0*y + 1, mittels Vergleich der Koeffizienten entstehen 2 (!) Gleichungen: (1) A + B = 0 (2) 1135A - 77B = 1 ============= Anmerkung: Eine oft angewandte andere Methode besteht darin, dass zur Erstellung des Gleichungssystemes in A,B für y jeweils die Nullstellen des Nennerpolynoms herangezogen werden. Dies allerdings erst nach der Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner. 1 = Ay + 1135A + By - 77B 1) y = 77 -------> 1212A = 1 2) y = -1135 --> -1212B = 1 ================== Der Vorteil hier ist, dass A und B jeweils direkt zu berechnen sind. mY+
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18.10.2022, 16:06	Mathst	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt ja keine dummen fragen gell? Wie hast du den Koeffizienten Vergleich Durchgeführt, da komme ich nicht ganz mit warum fällt der Nenner weg. Und wie kommst du auf 1 = Ay+1135(A) + By-77(B) micht stören die Konstanten A und B die ich eingeklammert habe. Und wo ist links jetzt 0*y +1? Vielen Dank
18.10.2022, 16:33	Mathst	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat sich erledigt ich habe es verstanden.
18.10.2022, 16:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Term 1 muss zwecks Koeffizientenvergleich identisch 0*y + 1 gesetzt werden. Damit ist der Koeffizient von y gleich 0 und der der Konstanten gleich 1 So. Der Nenner zerfällt in die beiden Linearfaktoren (y - 77) und (y + 1135) und daher versuchen wir, den ganzen Term in die 2 Summanden A/(y - 77) und B/(y + 1135) zu zerlegen. Die Zähler A und B kennen wir (noch) nicht und eben diese werden mittels Koeffizientenvergleich zu ermitteln sein. Diesen Ansatz siehst du nun im vorigen Post. Die Gleichung wird dann mit diesem (gemeinsamen Nenner) multipliziert und deswegen fallen die Nenner weg, die Gleichung wird bruchfrei. Jetzt gibt es auf beiden Seiten y-Glieder und Konstanten. Diese werden zusammengefasst und schließlich deren beide Koeffizienten (in denen auch A und B enthalten sind) gleichgesetzt. Das ergibt ein lineares Gleichungssystem in den Variablen A und B, welches aufzulösen ist. Ist das jetzt für dich verständlich? mY+

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